Matematyka.pl

Czy ciag \(\displaystyle{ a_n = \cos(2) + \cos(4)+ ... + \cos(2n-2) + \cos(2n) }\) jest ograniczony ?

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n \left(\cos 2k+i\sin 2k\right)=\sum_{k=0}^n e^{2ki}=\frac{1-e^{2(n+1)i}}{1-e^{2i}}}\)

Moduł prawej strony jest ograniczony przez \(\displaystyle{ \frac{2}{\left|1-e^{2i}\right|}}\), więc część rzeczywista i urojona lewej strony też są ograniczone. Dodakowa jedynka po lewej stronie nie zmienia tego faktu.