Matematyka.pl

Mam problem z obliczeniem tego zadania, wszelkie wskazówki mile widziane:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }}\) \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{1} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + ... + \sqrt{n}}{(n+1)\sqrt{n}}}\).

Jeżeli znasz rachunek całkowy, to można zauważyć, że
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{1} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + ... + \sqrt{n}}{(n+1)\sqrt{n}}= \frac{n}{n+1} \cdot \left( \frac 1 n \cdot \sqrt{ \frac{1}{n} }+\frac 1 n\cdot \sqrt{ \frac{2}{n} }+\ldots+\frac 1 n\cdot\sqrt{\frac n n} \right)}\)
i oczywiście \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{n}{n+1}=1}\), natomiast
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \frac 1 n \cdot \sqrt{ \frac{1}{n} }+\frac 1 n\cdot \sqrt{ \frac{2}{n} }+\ldots+\frac 1 n\cdot\sqrt{\frac n n} \right)= \int_{0}^{1}\sqrt{x} \,\dd x=\frac 2 3}\)
więc z tw. o granicy iloczynu mamy, że
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{1} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + ... + \sqrt{n}}{(n+1)\sqrt{n}}=\frac 2 3}\)

Jeżeli nie znasz rachunku całkowego, to zastosuj twierdzenie Stolza.