Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a_1=5}\) i \(\displaystyle{ a_{n+1}=4+ a_1...a_n}\) to
\(\displaystyle{ a_n = 2+ \left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right) ^{2^{n-1}} + \left( \frac{3- \sqrt{5}}{2} \right) ^{2^{n-1}}}\)
gdy \(\displaystyle{ n=1, 2, 3, ...}\)
Nietypowa rekurencja
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11547
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3167 razy
- Pomógł: 749 razy
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Nietypowa rekurencja
Mamy:
\(\displaystyle{ a_{n+1}=4+ a_1...a_n= 4 + (a_n-4)a_n=(a_n-2)^2}\)
I dalej łatwa indukcja - dla \(\displaystyle{ n=1}\) teza jest prawdziwa, a jeśli jest prawdziwa dla pewnego \(\displaystyle{ n\ge 1}\), to:
\(\displaystyle{ a_{n+1} = \left( \left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right) ^{2^{n-1}} + \left( \frac{3- \sqrt{5}}{2} \right) ^{2^{n-1}}\right)^2 = \left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right) ^{2^{n}} +2+ \left( \frac{3- \sqrt{5}}{2} \right) ^{2^{n}}}\)
czyli zgadza się także dla \(\displaystyle{ n+1}\).
Q.
\(\displaystyle{ a_{n+1}=4+ a_1...a_n= 4 + (a_n-4)a_n=(a_n-2)^2}\)
I dalej łatwa indukcja - dla \(\displaystyle{ n=1}\) teza jest prawdziwa, a jeśli jest prawdziwa dla pewnego \(\displaystyle{ n\ge 1}\), to:
\(\displaystyle{ a_{n+1} = \left( \left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right) ^{2^{n-1}} + \left( \frac{3- \sqrt{5}}{2} \right) ^{2^{n-1}}\right)^2 = \left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right) ^{2^{n}} +2+ \left( \frac{3- \sqrt{5}}{2} \right) ^{2^{n}}}\)
czyli zgadza się także dla \(\displaystyle{ n+1}\).
Q.