monotoniczność ciągu związanego z e

kkornel99 · Post autor: **kkornel99** » 13 sty 2018, o 20:12

Witam
Mam problem żeby pokazać że ciąg jest malejący i ograniczony
\(\displaystyle{ b_{n} = \left( 1+\frac{1}{n} \right) ^{n+1}}\)
fajnie by było gdyby można byłoby skorzystać z nierówności Bernoulliego

Janusz Tracz · Post autor: **Janusz Tracz** » 13 sty 2018, o 20:27

Można skorzystać z nierówności Bernoulliego. Spróbuj pokazać że \(\displaystyle{ \frac{b_n}{b_{n+1}}>1}\)

Premislav · Post autor: **Premislav** » 13 sty 2018, o 20:29

\(\displaystyle{ \frac{b_n}{b_{n+1}}= \frac{n+1}{n+2} \cdot \left(1+ \frac{1}{n(n+2)} \right)^{n+1} \ge \\ \ge \frac{n+1}{n+2} \cdot\left( 1+ \frac{n+1}{n(n+2)} \right)=\\=\frac{n+1}{n+2}+\frac{(n+1)^2}{n(n+2)^2} >\frac{n+1}{n+2}+\frac{1}{n+2}=1}\)

a4karo · Post autor: **a4karo** » 13 sty 2018, o 20:35

Spojrz tutaj: 369958.htm

Janusz Tracz · Post autor: **Janusz Tracz** » 13 sty 2018, o 20:37

Teraz korzystając jeszcze raz z nierówności Bernoulliego można pokazać oszacowanie dolne.

\(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^{n+1} \ge 1+ \frac{n+1}{n} \ge 2}\)