Matematyka.pl

Witam wszystkich forumowiczów, zbliża mi się moje pierwsze kolokwium z analizy matematycznej, mam sporo zadań, ale żadnych rozwiązań tak więc prosiłbym was o sprawdzenie nw. przykładów.

Zad. Zbadaj monotoniczność ciągu (an)

1. \(\displaystyle{ a_{n} = \frac{ 100^{n} }{n!}}\), wynik wyszedł mi Ciąg rosnący dla n < 99 i malejący dla n >99

2. \(\displaystyle{ a_{n} = \frac{ \sqrt{n} }{n+2}}\), teraz czy takie rozumowanie jest poprawne, bo nie mam innego pomysłu \(\displaystyle{ a_{n+1} -a_{n} = \frac{ \sqrt{n+1} }{n+3} - \frac{ \sqrt{n} }{n+2} = \frac{ \sqrt{n+1} }{n+2 +1} - \frac{ \sqrt{n}+1 }{n+2+1}}\) =
\(\displaystyle{ (\left \frac{ \sqrt{n+1}- \sqrt{n}+1 }{n+3}\right)^{2} = \frac{n+1-n+1}{ n^{2}+6n+9 } = \frac{2}{ n^{2}+6n+9 }}\) i to jest > 0 więc ciąg jest rosnący (dla n należącego N).

W razie czego moge rozpisac jak rozwiazywalem przyklad 1, jesli okaze sie ze wynik jest niepoprawny, aczkolwiek wolalbym zeby w takim wypadku ktos inny pokazal jak to zrobic.
Z gory dzieki za odp ;],

Pierwszy ok, ale w drugim dlaczego i skąd to
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{n}}{n+2} = \frac{\sqrt{n}+1}{n+2+1}}\) ??

Podczas rozwiazywania zadania wpadl mi do glowy przyklad gdzie rozpisywalem wlasnie mianownik w podobny sposob, ale wyglada na to ze w tym wypadku to juz naduzycie i mam czysty blad, da sie to w takim wypadku rozpisac inaczej anizeli mnozyc \(\displaystyle{ (n+2)(n+3)}\) ? Czy ma byc tak ze na dole ma byc wielomian wyzszego stopnia (gdybym chcial podnosic do kwadratu)?