Udowodnić, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{NWW(1,...,n)} = e}\).Limes z NWW
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 13538
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3436 razy
- Pomógł: 812 razy
-
arek1357
Re: Limes z NWW
skorzystam z pewnego twierdzenia, a mianowicie:
\(\displaystyle{ NWW(1,2,3,...,n)=\prod_{p \le n}p^{\lfloor \frac{\ln n}{\ln p} \rfloor}}\)
\(\displaystyle{ \left[ NWW(1,2,3,...,n)\right] ^{ \frac{1}{n} }=\prod_{p \le n}p^{ \frac{1}{n} \lfloor \frac{\ln n}{\ln p} \rfloor}}\)
\(\displaystyle{ \prod_{p \le n}p^{ \frac{1}{n} \lfloor \frac{\ln n}{\ln p} \rfloor}=e^{ \frac{1}{n} \sum_{p \le n}^{}\lfloor \frac{\ln n}{\ln p} \rfloor \cdot \ln p } }\)
teraz zajmijmy się ciągiem:
\(\displaystyle{ S_{n}=\frac{1}{n} \sum_{p \le n}^{}\lfloor \frac{\ln n}{\ln p} \rfloor \cdot \ln p }\)
oczywiście skorzystamy z nierówności:
\(\displaystyle{ \left( \frac{\ln n}{\ln p}-1 \right) \cdot \ln p<\lfloor \frac{\ln n}{\ln p} \rfloor \cdot \ln p \le \frac{\ln n}{\ln p} \cdot \ln p=\ln n}\)
ostatecznie:
\(\displaystyle{ \ln \frac{n}{p} < \lfloor \frac{\ln n}{\ln p} \rfloor \cdot \ln p \le \ln n}\)
obłóżmy to teraz sumowaniem po wszystkich liczbach pierwszych: \(\displaystyle{ \le n}\)
jest ich jak wiadomo: \(\displaystyle{ \pi(n)}\) - taka funkcja
będzie:
\(\displaystyle{ \ln \frac{n}{p_{1}} + \ln \frac{n}{p_{2}}+...+ \ln \frac{n}{p_{s}} < \sum_{p \le n}^{} \lfloor \frac{\ln n}{\ln p} \rfloor \cdot \ln p \le \pi(n) \cdot \ln n / :n}\)
\(\displaystyle{ \frac{\ln \frac{n}{p_{1}} + \ln \frac{n}{p_{2}}+...+ \ln \frac{n}{p_{s}}}{n} < \frac{1}{n} \sum_{p \le n}^{} \lfloor \frac{\ln n}{\ln p} \rfloor \cdot \ln p \le \frac{\pi(n) \cdot \ln n }{n} }\)
oczywiście:
\(\displaystyle{ s=\pi(n)}\)
zajmijmy się lewą stroną nierówności:
\(\displaystyle{ \frac{\ln \frac{n}{p_{1}} + \ln \frac{n}{p_{2}}+...+ \ln \frac{n}{p_{s}}}{n}= \frac{\pi(n) \cdot \ln n-\ln \left( p_{1}p_{2}...p_{s}\right) }{n} = \frac{\pi(n) \ln n}{n} - \frac{\ln \left( p_{1}p_{2}...p_{s}\right)}{n} }\)
ale:
\(\displaystyle{ 0<\frac{\ln \left( p_{1}p_{2}...p_{s}\right)}{n} \le \frac{\ln n}{n} \rightarrow 0}\)
wiadomo też z teorii o rozmieszczeniu liczb pierwszych, że:
\(\displaystyle{ \frac{\pi(n) \ln n}{n} \rightarrow 1}\)
a co za tym idzie:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to\infty} \left( \frac{1}{n} \sum_{p \le n}^{}\lfloor \frac{\ln n}{\ln p} \rfloor \cdot \ln p\right) =1}\)
a co za tym idzie:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to\infty} \sqrt[n]{NWW(1,2,3,...,n)}=e}\)
cnd...
\(\displaystyle{ NWW(1,2,3,...,n)=\prod_{p \le n}p^{\lfloor \frac{\ln n}{\ln p} \rfloor}}\)
\(\displaystyle{ \left[ NWW(1,2,3,...,n)\right] ^{ \frac{1}{n} }=\prod_{p \le n}p^{ \frac{1}{n} \lfloor \frac{\ln n}{\ln p} \rfloor}}\)
\(\displaystyle{ \prod_{p \le n}p^{ \frac{1}{n} \lfloor \frac{\ln n}{\ln p} \rfloor}=e^{ \frac{1}{n} \sum_{p \le n}^{}\lfloor \frac{\ln n}{\ln p} \rfloor \cdot \ln p } }\)
teraz zajmijmy się ciągiem:
\(\displaystyle{ S_{n}=\frac{1}{n} \sum_{p \le n}^{}\lfloor \frac{\ln n}{\ln p} \rfloor \cdot \ln p }\)
oczywiście skorzystamy z nierówności:
\(\displaystyle{ \left( \frac{\ln n}{\ln p}-1 \right) \cdot \ln p<\lfloor \frac{\ln n}{\ln p} \rfloor \cdot \ln p \le \frac{\ln n}{\ln p} \cdot \ln p=\ln n}\)
ostatecznie:
\(\displaystyle{ \ln \frac{n}{p} < \lfloor \frac{\ln n}{\ln p} \rfloor \cdot \ln p \le \ln n}\)
obłóżmy to teraz sumowaniem po wszystkich liczbach pierwszych: \(\displaystyle{ \le n}\)
jest ich jak wiadomo: \(\displaystyle{ \pi(n)}\) - taka funkcja
będzie:
\(\displaystyle{ \ln \frac{n}{p_{1}} + \ln \frac{n}{p_{2}}+...+ \ln \frac{n}{p_{s}} < \sum_{p \le n}^{} \lfloor \frac{\ln n}{\ln p} \rfloor \cdot \ln p \le \pi(n) \cdot \ln n / :n}\)
\(\displaystyle{ \frac{\ln \frac{n}{p_{1}} + \ln \frac{n}{p_{2}}+...+ \ln \frac{n}{p_{s}}}{n} < \frac{1}{n} \sum_{p \le n}^{} \lfloor \frac{\ln n}{\ln p} \rfloor \cdot \ln p \le \frac{\pi(n) \cdot \ln n }{n} }\)
oczywiście:
\(\displaystyle{ s=\pi(n)}\)
zajmijmy się lewą stroną nierówności:
\(\displaystyle{ \frac{\ln \frac{n}{p_{1}} + \ln \frac{n}{p_{2}}+...+ \ln \frac{n}{p_{s}}}{n}= \frac{\pi(n) \cdot \ln n-\ln \left( p_{1}p_{2}...p_{s}\right) }{n} = \frac{\pi(n) \ln n}{n} - \frac{\ln \left( p_{1}p_{2}...p_{s}\right)}{n} }\)
ale:
\(\displaystyle{ 0<\frac{\ln \left( p_{1}p_{2}...p_{s}\right)}{n} \le \frac{\ln n}{n} \rightarrow 0}\)
wiadomo też z teorii o rozmieszczeniu liczb pierwszych, że:
\(\displaystyle{ \frac{\pi(n) \ln n}{n} \rightarrow 1}\)
a co za tym idzie:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to\infty} \left( \frac{1}{n} \sum_{p \le n}^{}\lfloor \frac{\ln n}{\ln p} \rfloor \cdot \ln p\right) =1}\)
a co za tym idzie:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to\infty} \sqrt[n]{NWW(1,2,3,...,n)}=e}\)
cnd...
Ostatnio zmieniony 19 maja 2025, o 17:21 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.