Liczba Eulera do wyznaczania granicy?
-
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 11 gru 2022, o 12:24
- Płeć: Kobieta
- wiek: 22
- Podziękował: 4 razy
Liczba Eulera do wyznaczania granicy?
Zastanawiałam się chwilę nad poniższym przykładem:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to2 ^{-} }\left( \frac{x+1}{x-4}\right)^{4-x} }\)
Wiem o tym że gdyby w tym przykładzie \(\displaystyle{ x}\) zbiegało do nieskończoności to można by było rozwiązać te zadanie przekształcając te wyrażenie do postaci \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \left[ \left( 1+ \frac{1}{ \frac{x-4}{5} }\right) ^{\frac{x-4}{5} } \right]^{ \frac{20-5x}{x-4} } }\)
Czy można zrobić to samo w przypadku gdy \(\displaystyle{ x}\) nie zbiega do nieskończoności? A może po prostu za bardzo kombinuję i wystarczy podstawić \(\displaystyle{ 2}\) pod \(\displaystyle{ x}\) i granica będzie równa \(\displaystyle{ \frac{9}{4} }\)?
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to2 ^{-} }\left( \frac{x+1}{x-4}\right)^{4-x} }\)
Wiem o tym że gdyby w tym przykładzie \(\displaystyle{ x}\) zbiegało do nieskończoności to można by było rozwiązać te zadanie przekształcając te wyrażenie do postaci \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \left[ \left( 1+ \frac{1}{ \frac{x-4}{5} }\right) ^{\frac{x-4}{5} } \right]^{ \frac{20-5x}{x-4} } }\)
Czy można zrobić to samo w przypadku gdy \(\displaystyle{ x}\) nie zbiega do nieskończoności? A może po prostu za bardzo kombinuję i wystarczy podstawić \(\displaystyle{ 2}\) pod \(\displaystyle{ x}\) i granica będzie równa \(\displaystyle{ \frac{9}{4} }\)?
Ostatnio zmieniony 19 gru 2022, o 18:35 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Więcej szacunku dla Eulera. Poprawa wiadomości.
Powód: Więcej szacunku dla Eulera. Poprawa wiadomości.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4090
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1399 razy
Re: Liczba euler do wyznaczania granicy?
Mogę prosić o dziedzinę funkcji \(\displaystyle{ \left( \frac{x+1}{x-4} \right) ^{4-x}}\)?
-
- Administrator
- Posty: 34393
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5218 razy
Re: Liczba Eulera do wyznaczania granicy?
Nawiązując do pytania Janusza Tracza: skąd wzięłaś ten przykład?
JK
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 11 gru 2022, o 12:24
- Płeć: Kobieta
- wiek: 22
- Podziękował: 4 razy
Re: Liczba Eulera do wyznaczania granicy?
Dostałam je od kolegi ze starszego roku. Prawdopodobnie pojawiło się kiedyś na ćwiczeniach z analizy albo na jakimś kolokwium. A dlaczego miałoby to być istotne?
Edit: Dziedzina nie była podana w poleceniu.
Edit: Dziedzina nie była podana w poleceniu.
-
- Administrator
- Posty: 34393
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5218 razy
Re: Liczba Eulera do wyznaczania granicy?
No i w tym problem. Założeniem przy funkcji wykładniczej jest dodatniość podstawy, więc dziedzina naturalna tej funkcji to \(\displaystyle{ (-\infty,-1)\cup(4,+\infty)}\) i liczenie granicy w dwójce nie ma sensu.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 7925
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1674 razy
Re: Liczba Eulera do wyznaczania granicy?
Przekształcamy na iloczyn dwóch granic skończonych:
\(\displaystyle{ \left(\frac{x+1}{x-4}\right)^ 4 \cdot \left(\frac{x+1}{x-4}\right)^ {-x} \rightarrow \frac{9}{4},}\) gdy \(\displaystyle{ x\rightarrow 2^{-}, \ \ x\rightarrow 2^{+}.}\)
\(\displaystyle{ \left(\frac{x+1}{x-4}\right)^ 4 \cdot \left(\frac{x+1}{x-4}\right)^ {-x} \rightarrow \frac{9}{4},}\) gdy \(\displaystyle{ x\rightarrow 2^{-}, \ \ x\rightarrow 2^{+}.}\)
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4090
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1399 razy
Re: Liczba Eulera do wyznaczania granicy?
Dlatego samemu trzeba się nad nią zastanowić. W zależności od tego jaka jest dziedzina zależy dalsze postępowanie. Podam trzy możliwe opcje które przychodzą mi do głowy choć tylko jedna jest realnie prawdopodobna:
- Dziedzina jest \(\displaystyle{ (-\infty,-1)\cup(4,+\infty)}\) więc \(\displaystyle{ 2}\) nie jest punktem skupienia. Więc pytanie o \(\displaystyle{ \lim_{x \to 2} }\) nie ma sensu.
- Dookreślisz funkcję \(\displaystyle{ \left( \frac{x+1}{x-4} \right) ^{4-x}}\) na zbiorze którego punktem skupienia już jest \(\displaystyle{ 2}\).
- Zmienisz topologię na \(\displaystyle{ \RR}\) tak aby \(\displaystyle{ 2}\) było punktem skupienia \(\displaystyle{ (-\infty,-1)\cup(4,+\infty)}\) .
PPS to jest idealne zadanie na kolokwium.
-
- Administrator
- Posty: 34393
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5218 razy
-
- Administrator
- Posty: 34393
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5218 razy
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4090
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1399 razy
Re: Liczba Eulera do wyznaczania granicy?
Więc zgodnie ze znanym faktem o granicach jednostronnych mielibyśmy \(\displaystyle{ \left(\frac{x+1}{x-4}\right)^ {4-x}\to \frac{9}{4} }\), gdy \(\displaystyle{ x\to 2}\). Proszę o \(\displaystyle{ \epsilon-\delta}\) dowód albo o \(\displaystyle{ \delta>0}\) dobrą dla \(\displaystyle{ \epsilon =1}\) albo dowód oparty o definicję Heinego.
-
- Użytkownik
- Posty: 22247
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3762 razy
Re: Liczba Eulera do wyznaczania granicy?
Szanowni Panowie oponenci janusza47,
Skoro w warunkach bojowych wartości kosinusa liczby rzeczywistej mogą być większe niż `9` (wiem, bo swoje odsłużyłem), to proszę przyjąć do wiadomości, że owo wyrażenie sens posiadać w takich warunkach może. A że wojna za ścianą...
-
- Użytkownik
- Posty: 7925
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1674 razy
Re: Liczba Eulera do wyznaczania granicy?
Według Heine:
\(\displaystyle{ a_{n} = 2 - \frac{1}{n}, \ \ n \rightarrow \infty }\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \left( \frac{2 -\frac{1}{n} +1}{2 -\frac{1}{n}-4}\right)^{\left(4 - 2 +\frac{1}{n}\right)} = \lim_{n\to \infty}\left(\frac{3 -\frac{1}{n}}{-2-\frac{1}{n}}\right)^{\left(2 +\frac{1}{n}\right)} = \frac{9}{4}.}\)
\(\displaystyle{ a_{n} = 2 - \frac{1}{n}, \ \ n \rightarrow \infty }\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \left( \frac{2 -\frac{1}{n} +1}{2 -\frac{1}{n}-4}\right)^{\left(4 - 2 +\frac{1}{n}\right)} = \lim_{n\to \infty}\left(\frac{3 -\frac{1}{n}}{-2-\frac{1}{n}}\right)^{\left(2 +\frac{1}{n}\right)} = \frac{9}{4}.}\)
Kod: Zaznacz cały
www.wolframalpha.com/input?i=Limit%5B%28%28x%2B1%29%2F%28x-4%29%29%5E%284-x%29%2C+x%2C+2%2C+left%5D
-
- Administrator
- Posty: 34393
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5218 razy
Re: Liczba Eulera do wyznaczania granicy?
Fajnie jest liczyć granicę ciągu, w którym przynajmniej połowa wyrazów nie istnieje. Mógłbyś policzyć dla ciągu \(\displaystyle{ b_n=\left(\frac{3 -\frac{1}{n}}{-2-\frac{1}{n}}\right)^{\left(2 +\frac{1}{n}\right)}}\) np. \(\displaystyle{ b_{10}}\)?
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 7925
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1674 razy
Re: Liczba Eulera do wyznaczania granicy?
Miałem policzyć gtanicę funkcji w punkcie \(\displaystyle{ 2.}\) Granica ta istnieje istnieje i jest równa \(\displaystyle{ \frac{9}{4}, }\) co potwierdzają Wolfram, Mathematica, Matics, Sage, Maxima, Apple, Mathcad,Eigemath, a nawet MATLAB:
Kod: Zaznacz cały
>> syms x
>> limit(((x+1)/(x-4))^(4-x),x,2)
ans =
9/4