Matematyka.pl

Dostałam mnóstwo ciągów do kolokwium, ale paru nie umiałam zrobić. (treść: Znajdź granicę.)

1) \(\displaystyle{ x_{n} = (1 - \frac{1}{2^{2}})\cdot(1 - \frac{1}{3^{2}})\cdot ... \cdot(1 - \frac{1}{n^{2}})\cdot}\)
2) \(\displaystyle{ y_{n} = (1 - \frac{1}{3})\cdot(1 - \frac{1}{6})\cdot ... \cdot(1 - \frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}})\cdot}\)
3) \(\displaystyle{ z_{n} = \frac{1\cdot1!+2\cdot2!+...+n\cdot n!}{(n+1)!}}\)
4) \(\displaystyle{ t_{n} = \frac{1^{p}+2^{p}+...+n^{p}}{(n+1)^{p}}}\) i p jest liczbą naturalną bez zera
5) \(\displaystyle{ b_{n} = \frac{(\frac{3}{2})^{-n}-n^{2013}-12\pi^{n}}{(\frac{3}{2})^{n}+\frac{3}{7}\pi^{n}}}\)
6) \(\displaystyle{ u_{n} = 2^{\frac{1}{n}}\cdot(1 + \frac{1}{2})^{\frac{2}{n}}\cdot(1 + \frac{1}{3})^{\frac{3}{n}}\cdot ... \cdot(1 + \frac{1}{n})}\)

nie chodzi mi koniecznie o całe rozwiązanie ale jakieś twierdzenia z którego należy skorzystać albo pierwsze przekształcenie

1 i 2 - sprowadź każdy z nawiasów do wspólnego mianownika i rozłóż liczniki. Coś (dużo) się poupraszcza.
3 dodaj i odejmij 1 do licznika i poobserwuj
4 słyszałaś o sumach całkowych? Jeżeli nie, to spróbuj znależć wzór na sume p-tych potęg kolejnych liczb naturalnych
5 który składnik jest dominujący w liczniku i mianowniku?
6 nawiasy do wspolnego mianownika (napisz sobie troche wiecej wyrazów, żeby zobaczyć efekt