Matematyka.pl

Trafiłem na pewne zadanie na ważniaku, aby udowodnić ciągłość funkcji. W toku zadania trzeba było sprawdzić, czy następująca granica jest równa zero:
\(\displaystyle{ \lim_{ (x,y) \to (0,0) } \frac{x^2y}{x^2+y^2} }\)

Aby to udowodnić zastosowano twierdzenie o 3 funkcjach:
\(\displaystyle{ 0 \le \left|\frac{x^2y}{x^2+y^2}\right| \le \frac{x^2\left| y\right| }{x^2} }\)

Jak widać wszystko się zgadza, granica wynosi 0, jednak zastanawiam się, na jakiej podstawie została tutaj użyta wartość bezwzględna. Czy chodzi o to, że i tak chcemy udowodnić, że granica ma wynieść 0, więc znak nie ma znaczenia?

Kiedy można zastosować wartość bezwzględną w ten sposób wykorzystując twierdzenie o 3 funkcjach?

DefinitionOfQuality pisze: ↑17 lut 2023, o 15:52 Jak widać wszystko się zgadza, granica wynosi 0, jednak zastanawiam się, na jakiej podstawie została tutaj użyta wartość bezwzględna. Czy chodzi o to, że i tak chcemy udowodnić, że granica ma wynieść 0, więc znak nie ma znaczenia?

Tak.

DefinitionOfQuality pisze: ↑17 lut 2023, o 15:52 Kiedy można zastosować wartość bezwzględną w ten sposób wykorzystując twierdzenie o 3 funkcjach?

Nie jestem pewien czy to się nazywa twierdzeniem o 3 funkcjach w tej wersji ale można tak zrobić jak się pokazuje zbieżność do zera wszak zachodzi równoażność
I jedynie zero ma taką własność.

Dziękuję bardzo za odpowiedź, wszystko jasne.