Matematyka.pl

Dany jest ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) okreslony tak: \(\displaystyle{ a_1=3}\), \(\displaystyle{ a_{n+1} =3-\frac{1}{a_n}}\) dla n=1,2,3....Wykazac zieznosc ciagu \(\displaystyle{ b_n}\), gdy
\(\displaystyle{ b_n= \frac{1}{a_1....a_n}(\frac{3+\sqrt{5}}{2})^n}\) dla n=1, 2,3.... i obliczyc jego granice . b) czy mozna uzyskac jawny badz rekurencyjny wzor na \(\displaystyle{ b_n}\)
Odpowiedz uzasadnij

Najpierw znajdziemy wzór jawny na ciąg \(\displaystyle{ a_{n}}\)

wypiszmy kilka pierwszych wyrazów:

\(\displaystyle{ a_{1}= \frac{3}{1} , a_{2}= \frac{8}{3} , a_{3}= \frac{21}{8} , a_{4}= \frac{55}{21} , a_{5}= \frac{144}{55},...}\)

jak widać ciąg licznikowy i mianownikowy to to samo tylko przesunięte o jedną fazę...

znajdziemy wzór ogólny na ten ciąg:

\(\displaystyle{ 1 , 3 , 8 , 21 , 55,...}\)

rekurencyjnie ciąg ten spełnia równanie, co łatwo zauważyć:

\(\displaystyle{ b_{n+1}-3b_{n}+b_{n-1}=0 , b_{0}=1 , b_{1}=3}\)

po obłożeniu go: \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } x^n}\)

już nie będę całej procedury przeprowadzał ale otrzymamy funkcję:

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{x^3-3x+1} = \frac{1}{\left( x- \frac{3- \sqrt{5} }{2}\right)\left( x- \frac{3+ \sqrt{5} }{2}\right) } }\)

po rozłożeniu na ułamki proste i dalej bla, bla, bla,... otrzymamy: ...

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{5} }{5} \left[ \frac{1}{x- \frac{ 3+\sqrt{5}}{2} }-\frac{1}{x- \frac{ 3-\sqrt{5} }{2} } \right] }\)

teraz każde z osobna rozwijamy w szereg i otrzymamy:

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{5} }{5}\left[ - \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{2^{1-n}(3- \sqrt{5})^n }{3+ \sqrt{5} }x^n- \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{2^{1-n}(3+ \sqrt{5})^n }{-3+ \sqrt{5} }x^n \right]= }\)

\(\displaystyle{ - \frac{2 \sqrt{5} }{5} \cdot \sum_{n-0}^{ \infty } \left[ \frac{(3- \sqrt{5})^n }{3+ \sqrt{5} }+ \frac{(3+ \sqrt{5})^n }{\sqrt{5}-3} \right] \frac{1}{2^n} }\)

po uproszczeniu i sprowadzeniu do wspólnego mianownika otrzymamy:

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{5} }{10} \sum_{n=0}^{ \infty } \left[ \left( 3+ \sqrt{5} \right)^{n+1}-\left( 3- \sqrt{5} \right)^{n+1}\right] \frac{1}{2^n} }\)

a więc wzór jawny na ciąg: \(\displaystyle{ b_{n}}\) otrzymamy:

\(\displaystyle{ b_{n}= \frac{ \sqrt{5} }{10} \cdot \frac{\left( 3+ \sqrt{5} \right)^{n+1}-\left( 3- \sqrt{5} \right)^{n+1}}{2^n} , n=0 , 1 , 2 , 3 ,... }\)

widać teraz, że:

\(\displaystyle{ a_{n+1}= \frac{b_{n+1}}{b_{n}} }\)

troszkę kolizja oznaczeń bo ciąg \(\displaystyle{ b_{n}}\) z zadania to nie ten co go używałem jako roboczy...

teraz zajmijmy się iloczynem:

\(\displaystyle{ a_{1} \cdot \cdot a_{2} \cdot \cdot ... \cdot a_{n}= \frac{b_{1}}{b_{0}} \cdot \frac{b_{2}}{b_{1}} \cdot ... \cdot \frac{b_{n}}{b_{n-1}} = \frac{b_{n}}{b_{0}}=b_{n}=\frac{ \sqrt{5} }{10} \cdot \frac{\left( 3+ \sqrt{5} \right)^{n+1}-\left( 3- \sqrt{5} \right)^{n+1}}{2^n} }\)

teraz wrócimy do właściwego ciągu \(\displaystyle{ b_{n}}\) i otrzymamy jawny wzór na niego już po uproszczeniach:


\(\displaystyle{ b_{n}= 4 \sqrt{5} \frac{(3+ \sqrt{5})^n }{(3+ \sqrt{5})^{n+2}-(3- \sqrt{5})^{n+2}} }\)


lub po podzieleniu licznika i mianownika przez:

\(\displaystyle{ (3+ \sqrt{5})^n }\)

otrzymamy:

\(\displaystyle{ b_{n}= \frac{4 \sqrt{5} }{(3+ \sqrt{5})^2-\left( \frac{3- \sqrt{5}}{3+ \sqrt{5}} \right)^n \cdot (3- \sqrt{5})^2}}\)

widać z tego, że:

\(\displaystyle{ \lim b_{n}= \frac{}{} \frac{4 \sqrt{5} }{(3+\sqrt{5})^2 } = \frac{2 \sqrt{5} }{7+3 \sqrt{5} } = \frac{7 \sqrt{5}-15 }{2}}\)

cnd...