Matematyka.pl

\(\displaystyle{ f(x)=2^x-x}\) jest ściśle malejąca na przedziale \(\displaystyle{ \left(-\infty,-\log_2(\ln2) \right]}\) i ściśle rosnąca na \(\displaystyle{ \left[-\log_2(\ln2),\infty \right]}\). \(\displaystyle{ f(0)=f(1)=1}\). Stąd konieczność założenia \(\displaystyle{ x_n \ge 0}\), bo \(\displaystyle{ f(x_n)}\) jest malejący do \(\displaystyle{ 1}\), więc dla każdego \(\displaystyle{ n}\) zachodzi \(\displaystyle{ x_n<0 \vee x_n>1}\). To, że granica musi być równa \(\displaystyle{ 1}\) wynika z ciągłości \(\displaystyle{ f^{-1}}\).
Teraz \(\displaystyle{ n\left( x_n-1 \right)=\frac{f^{-1}(f(x_n))-1}{f(x_n)-1}\cdot\frac{f(x_n)-1}{\frac{1}{n}}}\).
Łatwo sprawdzić, że\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}\frac{f(x_n)-1}{\frac{1}{n}}=\frac{1}{2}}\). Natomiast pierwsza granica jest równa pochodnej \(\displaystyle{ f^{-1}}\) w \(\displaystyle{ y=1}\), która wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2\ln2-1}}\).
Zatem \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}n\left( x_n-1 \right)=\frac{1}{4\ln2-2}}\).