granica związana z ciągiem 1/n

wielkireturner · Post autor: **wielkireturner** » 8 lut 2015, o 11:33

Dobry dzionek. Proszę o wsparcie w zadaniu:
Obliczyć granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \left( \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n} \right)}\)

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 8 lut 2015, o 11:44

Rozpatrz funkcję \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{x}}\) na odcinku \(\displaystyle{ [1,2]}\). Zauważ, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n} = \frac{1}{n} \left( \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} + \ldots \frac{1}{1 + \frac{n}{n}} \right) = \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} f \left(1 + \frac{k}{n} \right)}\)
Stąd już widać granicę.

wielkireturner · Post autor: **wielkireturner** » 8 lut 2015, o 13:30

Próbuję zrozumieć, ale średnio mi to wychodzi. Dlaczego \(\displaystyle{ \left[ 1,2 \right]}\) , a nie np. \(\displaystyle{ \left[ 0,1 \right]}\) ?

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 8 lut 2015, o 16:02

Ponieważ mamy \(\displaystyle{ f \left( 1 + \frac{k}{n} \right)}\), a punkty \(\displaystyle{ 1 + \frac{k}{n}}\) dzielą odcinek \(\displaystyle{ [1,2]}\) na \(\displaystyle{ n}\) równy części długości \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\). Zatem mamy
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} f \left(1 + \frac{k}{n} \right) \to \int_1^2 f(x) \mathrm{d}x = \int_1^2 \frac{1}{x} \mathrm{d}x = \ln(2) - \ln(1) = \ln(2)}\)

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 14 sie 2015, o 15:34

już widać granicę.

Czy istnieje inny (elementarny) sposób...?

Ukryta treść:

Marcinek665 · Post autor: **Marcinek665** » 14 sie 2015, o 16:13

Istnieje.

Poprzekształcać prawdziwą nierówność

\(\displaystyle{ \frac{x}{x+1} \le \ln(1+x) \le x}\)

Najpierw podstawiając \(\displaystyle{ x = \frac{1}{n}}\), potem przekształcić tak, zeby otrzymać \(\displaystyle{ (...)-(...) > \frac{1}{n} > (...) - (...)}\) i wysumowac stronami.

czekoladowy · Post autor: **czekoladowy** » 15 sie 2015, o 13:18

Alternatywnie możemy skorzystać z tego, że:

\(\displaystyle{ \gamma =\lim_{n \to \infty}\left(1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +\dots+ \frac{1}{n} - \ln(n)\right)}\)

PiotrowskiW · Post autor: **PiotrowskiW** » 15 sie 2015, o 14:55

Ciągi
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{n+1} \right)_{n \in N},\left( \frac{1}{n+2} \right)_{n \in N},\dots, \left( \frac{1}{2n} \right)_{n \in N}}\) są ciągami zbieżnymi do zera. Zatem na mocy twierdzenia o granicy sumy...
granica sumy to suma granic.
Co Wam się w tym nie podoba?

Nakahed90 · Post autor: **Nakahed90** » 15 sie 2015, o 14:57

Twierdzenia prawdziwe tylko dla sum skończonych.

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 24 sie 2015, o 16:57

Istnieje.

Ukryta treść:

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 28 lis 2015, o 18:21

tj.: \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{+ \infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k} =\ln(2)}\)

Ukryta treść: