Witam,
mam problem, bo nie bardzo wiem jak obliczyć granicę ciągu nie stosując reguły de l'Hospitala(ponieważ mamy doczynienia z ciągiem)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n} = 1}\)
granica z pierwiastka n-tego stopnia z n
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4105
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1409 razy
Re: granica z pierwiastka n-tego stopnia z n
1:
2:
3:
4:
5:
Ostatnio zmieniony 8 paź 2022, o 22:40 przez Janusz Tracz, łącznie zmieniany 4 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 58
- Rejestracja: 12 mar 2021, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 1 raz
Re: granica z pierwiastka n-tego stopnia z n
proszę mnie nie zlinczować, wiem tyle, że chodzi o średnią geometryczną i arytmetyczną tylko zastanawia mnie dlaczego nie jestJanusz Tracz pisze: ↑8 paź 2022, o 22:12 Z \(\displaystyle{ \text{AM}-\text{GM}}\) oraz \(\displaystyle{ 3}\) ciągów:\(\displaystyle{ 1 \le \sqrt[n]{n}= \sqrt[n]{\sqrt{n} \times \sqrt{n} \times 1^{n-2}} \leq \frac{2 \sqrt{n}+n-2}{n}.}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{\sqrt{n} \times \sqrt{n} \times 1^{n-2}} \leq \frac{2 \sqrt{n}+ 1^{n-2} }{n}.}\)
skoro 3 wyraz średniej geometrycznej to
\(\displaystyle{ 1^{n-2} }\)
Ostatnio zmieniony 9 paź 2022, o 19:25 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4105
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1409 razy
Re: granica z pierwiastka n-tego stopnia z n
Nie korzystasz ze średniej dla \(\displaystyle{ 3}\) zmiennych tylko dla \(\displaystyle{ n}\). Dlatego jest tam dzielenie przez \(\displaystyle{ n}\). Innymi słowy
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{ \sqrt{n} \times \sqrt{n} \times \underbrace{1 \times 1 \times \ldots \times 1}_{n-2 \text{ razy}} } \le \frac{\sqrt{n} + \sqrt{n}+ \overbrace{1+1+ \ldots +1 }^{n-2 \text{ razy}} }{n}. }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 58
- Rejestracja: 12 mar 2021, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 1 raz
Re: granica z pierwiastka n-tego stopnia z n
wszystko wiem, dziękuje za odpowiedź,
znalazłem też takie rozwiązanie
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n} =\lim_{m \to \infty } \sqrt[ 2^{m} ]{ 2^{m} }= \lim_{m \to \infty } 2^{ \frac{m}{ 2^{m} } }= 2^{0} }\)
jak obliczyć taką granicę?
\(\displaystyle{ \lim_{ m\to \infty }\frac{m}{ 2^{m}} =0 }\)
od dołu wiem jak ograniczyć
\(\displaystyle{ \lim_{m \to \infty } \frac{1}{2 ^{m} } }\) a od góry?
znalazłem też takie rozwiązanie
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n} =\lim_{m \to \infty } \sqrt[ 2^{m} ]{ 2^{m} }= \lim_{m \to \infty } 2^{ \frac{m}{ 2^{m} } }= 2^{0} }\)
jak obliczyć taką granicę?
\(\displaystyle{ \lim_{ m\to \infty }\frac{m}{ 2^{m}} =0 }\)
od dołu wiem jak ograniczyć
\(\displaystyle{ \lim_{m \to \infty } \frac{1}{2 ^{m} } }\) a od góry?
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4105
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1409 razy
Re: granica z pierwiastka n-tego stopnia z n
To nie jest pełne rozwiązanie. Mogłoby być tak, że na podciągu \(\displaystyle{ n}\) (tu \(\displaystyle{ 2^m}\)) mamy zbieżność do \(\displaystyle{ 1}\), a na innym podciągu nie. Oczywiście tak tu nie będzie ale formalnie trzeba to pokazać. Pewnie wystarczy najpierw zauważyć, że w ogóle \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n} }\) ma granice jako ciąg malejący (od pewnego miejsca) i ograniczony więc można ją policzyć na podciągu. Co do \(\displaystyle{ m/2^m\to 0}\) to wystarczy zauważyć, że
\(\displaystyle{ 2^m=(1+1)^m \ge 1+m+ {m \choose 2}+... \ge {m \choose 2}. }\)
Jest w tej (przedstawionej przez Ciebie) metodzie również ukryte wykorzystanie ciągłości funkcji \(\displaystyle{ x\mapsto 2^x}\) w \(\displaystyle{ 0}\). Oczywiście to nic złego bo ta ciągłość jest ale przez to rozumowanie nie jest tak elementarne jak by się wydawało. Btw ten sam zarzut można postawić mi co do metody \(\displaystyle{ 3}\) oraz \(\displaystyle{ 4}\). Więc to tylko spostrzeżenie.manifest do administracji:
Ostatnio zmieniony 10 paź 2022, o 10:21 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Merged.
Powód: Merged.