Matematyka.pl

Mamy dany ciąg \(\displaystyle{ a_{n}=\frac{\sqrt{n(n+2)}-n}{n+2-\sqrt{n(n+2)}}}\). Jak obliczyć jego granicę? Próbowałem podzielić licznik i mianownik przez n, ale dało to tyle, że wyszło 0/0.

mi wyszło cos takiego \(\displaystyle{ a_{n}=\frac{\sqrt{n^{2}+2n}-n}{n+2-\sqrt{n^{2}+2n}}=\frac{\sqrt{n^{2}}*\sqrt{2n}-n}{n+2-\sqrt{n^{2}}*\sqrt{2n}}=\frac{n*\sqrt{2n}-n}{n+2-n*\sqrt{2n}}=\frac{\sqrt{2n}-1}{3-\sqrt{2n}}=\frac{\sqrt{2n}-1}{3-\sqrt{2n}}=\frac{\sqrt{2n}(1-\frac{1}{\sqrt{2n}})}{\sqrt{2n}(\frac{3}{\sqrt{2n}}-1)}=\frac{1}{-1}=-1}\)

Nie rozumiem dlaczego wyszło Ci, że \(\displaystyle{ \sqrt{n(n+2)}=\sqrt{n^2}*\sqrt{2n}}\). Granica powinna wyjść 1.

\(\displaystyle{ \sqrt{a+b}=\sqrt{a}\sqrt{b}}\)
z tej własności korzystasz

grandslam, \(\displaystyle{ \sqrt {n^{2}+2n} \sqrt {n^{2}}*\sqrt {2n}}\)!!!


\(\displaystyle{ \lim_{n\to } \frac {\sqrt {n^{2}+2n} - n} {n+2 - \sqrt {n^{2}+2n}}= \lim_{n\to } \frac {2n}{2n}* \frac {2n+2}{2n+4}=1}\)

tu sie akurat pomyliłem ale po poprawieniu wychodzi mi granica równa -1.

Nie łapię tego przekształcenia, Piotrek :/. Mógłbyś napisać wszystko po kolei??

Zrobiłem innym sposobem, ale nadal mnie intryguje dlaczego nie wychodziło jak podzieliłem licznik i mianownik przez n... Wie ktoś?

ja skorzystałem ze wzoru na roznice kwadratow:

\(\displaystyle{ \frac {a^{2}-b^{2}}{a+b}}\)

wiec

\(\displaystyle{ \lim_{n\to } \frac {\sqrt {n^{2}+2n} - n} {n+2 - \sqrt {n^{2}+2n}}= \lim_{n\to } \frac {n^{2}+2n-n^{2}}{\sqrt {n^{2}+2n}+n} * \frac {\sqrt {n^{2}+2n}+n+2}{(n+2)^{2}-\sqrt {n^{2}+2n}}=...}\)