granica ciągu tw. Stolza
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 19 lis 2010, o 22:10
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lublin
granica ciągu tw. Stolza
mam do policzenia granice ciągu: \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{1}{ n^{k} } \cdot \left( k!+ \frac{\left( k+1\right)! }{1!} + \frac{\left( k+2\right)! }{2!}+...+ \frac{(k+n)!}{n!} \right)}\)
bardzo prosze o pomoc:)
bardzo prosze o pomoc:)
Ostatnio zmieniony 19 lut 2012, o 22:30 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skalowanie nawiasów.
Powód: Skalowanie nawiasów.
- fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
granica ciągu tw. Stolza
\(\displaystyle{ =\lim_{n\to \infty}\frac{(n+2)\ldots (n+k)}{(n+1)^k-n^k}}\)
- DjFlash
- Użytkownik
- Posty: 123
- Rejestracja: 23 mar 2011, o 22:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 20 razy
granica ciągu tw. Stolza
Justyna2199 pisze:mam do policzenia granice ciągu: \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{1}{ n^{k} } \cdot ( k!+ \frac{\left( k+1\right)! }{1!} + \frac{\left( k+2\right)! }{2!}+...+ \frac{(k+n)!}{n!})}\)
bardzo prosze o pomoc:)
Wsumie to w treści juz wszystko jest
Przyjmujemy
\(\displaystyle{ x_n = n^{k}}\),
\(\displaystyle{ y_n = k!+ \frac{\left( k+1\right)! }{1!} + \frac{\left( k+2\right)! }{2!}+...+ \frac{(k+n)!}{n!}}\).
Wstawiamy do Tw. Stolza, wiec liczmy granicę
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}}\).
Obliczamy różnice i dostajemy:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{\frac{(k+n)!}{n!}}{(n+1)^k-n^k} = \lim_{n \to \infty } \frac{(n+1)(n+2) \cdot ... \cdot (n+k)}{(n+1)^k-n^k} = \lim_{n \to \infty } \frac{n^k+...}{ -n^k +n^k+{n \choose 1} n^{k-1}+...} = \lim_{n \to \infty } \frac{n^k+...}{n^k+...} = 1}\)
bo pozostale potęgi sa mniejsze od \(\displaystyle{ n^k}\).
Stąd granica wyjściowego ciągu jest rowna \(\displaystyle{ 1}\).
- DjFlash
- Użytkownik
- Posty: 123
- Rejestracja: 23 mar 2011, o 22:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 20 razy
granica ciągu tw. Stolza
\(\displaystyle{ {n \choose 1} n^{k-1} = n^k}\)
wiec moze i 2 pierwsze wyrazy sie kasuja, ale z tego wychodzi \(\displaystyle{ n^k}\)
wiec moze i 2 pierwsze wyrazy sie kasuja, ale z tego wychodzi \(\displaystyle{ n^k}\)
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10242
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2367 razy
granica ciągu tw. Stolza
Ale przecież
\(\displaystyle{ (n+1)^k = {k \choose 0} n^k + {k \choose 1} n^{k-1} + {k \choose 2} n^{k-2} + \ldots + {k \choose k}}\)
a to nie to samo, co
\(\displaystyle{ {n \choose 0} n^k + {n \choose 1} n^{k-1} + {n \choose 2} n^{k-2} + \ldots + {n \choose k}.}\)
Granica wynosi \(\displaystyle{ \infty.}\)
\(\displaystyle{ (n+1)^k = {k \choose 0} n^k + {k \choose 1} n^{k-1} + {k \choose 2} n^{k-2} + \ldots + {k \choose k}}\)
a to nie to samo, co
\(\displaystyle{ {n \choose 0} n^k + {n \choose 1} n^{k-1} + {n \choose 2} n^{k-2} + \ldots + {n \choose k}.}\)
Granica wynosi \(\displaystyle{ \infty.}\)
Tu w mianowniku powinno być \(\displaystyle{ n^k-(n-1)^k,}\) choć akurat nie ma to wpływu na wynik.DjFlash pisze:Obliczamy różnice i dostajemy:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{\frac{(k+n)!}{n!}}{(n+1)^k-n^k} = \ldots}\)
- DjFlash
- Użytkownik
- Posty: 123
- Rejestracja: 23 mar 2011, o 22:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 20 razy
granica ciągu tw. Stolza
Dasio11, masz racje. Spojrzalem na swoj post wyzej, a nie na to ze napisalem go zle. Widac z rozpedu, bo to glupi blad i az sie dziwie jak ja to napisalem....