Matematyka.pl

Witam, czy mógłby mi ktoś rozpisać jak się liczy taką granicę?
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{n^4}{3^n}}\)
wiem, że wynosi ona 0 ale nie wiem jak to uzasadnić..

Jeżeli oznaczysz \(\displaystyle{ a_n=\frac{n^4}{3^n}}\), to co możesz powiedzieć o ilorazie \(\displaystyle{ a_{n+1)/a_n}\) dla odpowiednio dużych \(\displaystyle{ n}\)? Jaki stąd wniosek?

a4karo pisze:Jeżeli oznaczysz \(\displaystyle{ a_n=\frac{n^4}{3^n}}\), to co możesz powiedzieć o ilorazie \(\displaystyle{ a_{n+1)/a_n}\) dla odpowiednio dużych \(\displaystyle{ n}\)? Jaki stąd wniosek?

A to jest zamiar skorzystania z jakiego twierdzenia?

\(\displaystyle{ a_n=\frac{n^4}{3^n}}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{(n+1)^4}{ 3^{n+1} }= \frac{(n+1)^4}{3^n \cdot 3}}\)

Czy tu już widać coś oczywistego?

-- 18 cze 2014, o 10:21 --

\(\displaystyle{ \frac{ \frac{(n+1)^4}{3^n \cdot 3}}{\frac{n^4}{3^n}}}
= \frac{(n+1)^4}{3^n \cdot 3} \cdot \frac{3^n}{n^4}}
= \frac{(n+1)^4}{3 \cdot n^4}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{(n+1)^4}{3 \cdot n^4} = \frac{n^4 \left( 1+ \frac{4}{n}+ \frac{6}{n^2}+ \frac{4}{n^3}+ \frac{1}{n^4} \right) }{n^4 \cdot 3} = \frac{1}{3}}\)

Czy na tej podstawie można już coś powiedzieć ?

A co się stanie Z Twoimi finansami, jeżeli każdego dnia będziesz miał mniej niż jedną trzecią tego, co miałeś wczoraj?

@musialmi
Przed twierdzeniami pierwszeństwo ma zdrowy rozsądek

Co szybciej rośnie \(\displaystyle{ x^n}\), czy \(\displaystyle{ n^x}\), przy czym jedno z nich jest stałe? Na pewno jedno z nich