Matematyka.pl

Mam zadanie w którym należy odgadnąć ile wynosi \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sin ( \frac{ \sqrt{n} }{2n-3}) }\) i należy udowodnić z definicji granicy, że rzeczywiście tak jest. Odgaduję, że granica to 0, ale nie wiem jak potem udowodnić to.
Miałem pomysł, żeby pokazać, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{ \sqrt{n} }{2n-3}=0 }\), ale nie jestem pewien co z tym mogę dalej zrobić, po prostu nie widzę sposobu żeby to jakkolwiek zastosować w dowodzie.
Potem zauważyłem, że wybierająć \(\displaystyle{ n \ge 2}\) mamy, że \(\displaystyle{ sin \frac{ \sqrt{n} }{2n-3} > 0}\), bo \(\displaystyle{ 0< \frac{ \sqrt{n} }{2n-3} <\pi}\), więc w dowodzie mogę (oczywiście przy dobrych założeniach) opuścić moduł (w sensie, że \(\displaystyle{ |sin(\frac{ \sqrt{n} }{2n-3})|=\sin(\frac{ \sqrt{n} }{2n-3})<\epsilon}\)), ale ponownie nie widzę czy to cokolwiek mi daje.

Jak rozwiązać to i podobne przypadki?

Zauważ dodatkowo, że \(\displaystyle{ \sin x\le x}\) więc jeśli znajdziesz próg \(\displaystyle{ N}\) taki, że dla \(\displaystyle{ n>N}\) zachodzi \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{n} }{2n-3}<\epsilon}\) to \(\displaystyle{ \sin \frac{ \sqrt{n} }{2n-3}}\) też oszacujesz poprawnie.