Matematyka.pl

Ostatnio natknęłam się na taki dowód na jednoznaczność granicy ciągu:

(dowód nie wprost) Niech ciąg\(\displaystyle{ (a _{n})}\) będzie zbieżny do dwóch granic \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) \(\displaystyle{ (a \neq b)}\). Weźmy \(\displaystyle{ \varepsilon= \frac{1}{4}\left|a-b\right|}\). Zgodnie z def. granicy ciągu prawie wszystkie wyrazy ciągu leżą w odległości mniejszej niż \(\displaystyle{ \varepsilon}\) od a tzn. leżą w przedziale \(\displaystyle{ (a-\varepsilon,a+\varepsilon)}\) i jednocześnie należą do \(\displaystyle{ (b-\varepsilon,b+\varepsilon)}\). Jednak te przedziały są rozłączne. Uzyskana sprzeczność dowodzi że ciąg zbieżny ma tylko jedną granicę.

I tu pojawia się moja wątpliwość. Czy jest możliwe by te granice były na tyle blisko by przedziały mogły się po części pokryć?

Jest to możliwe. Wtedy jednak można ustalić nowe \(\displaystyle{ \varepsilon}\) tak, aby te przedziały znów stały się rozłączne. W definicji granicy jest mowa o każdym \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\), a tak złośliwy \(\displaystyle{ \varepsilon}\) można zawsze wziąć dla dwóch różnych granic - stąd może być tylko jedna.

\(\displaystyle{ a \neq b}\)

Mamy: \(\displaystyle{ \varepsilon= \frac{1}{4}\left|a-b\right|}\) oraz \(\displaystyle{ (a-\varepsilon,a+\varepsilon)}\), \(\displaystyle{ (b-\varepsilon,b+\varepsilon)}\)

Podstawiając:
\(\displaystyle{ (a-\varepsilon,a+\varepsilon)}\)
\(\displaystyle{ \left(a-\frac{1}{4}\left|a-b\right|,a+\frac{1}{4}\left|a-b\right|\right)}\)
\(\displaystyle{ \left[a-b \ge 0 \wedge \left( \frac{3}{4}a + \frac{1}{4}b, \frac{5}{4}a - \frac{1}{4}b \right)\right] \vee \left[a-b < 0 \wedge \left( \frac{5}{4}a - \frac{1}{4}b, \frac{3}{4}a + \frac{1}{4}b \right)\right]}\)


\(\displaystyle{ (b-\varepsilon,b+\varepsilon)}\)
\(\displaystyle{ \left(b-\frac{1}{4}\left|a-b\right|,b+\frac{1}{4}\left|a-b\right|\right)}\)
\(\displaystyle{ \left[a-b \ge 0 \wedge \left( \frac{5}{4}b - \frac{1}{4}a, \frac{3}{4}b + \frac{1}{4}a \right)\right] \vee \left[a-b < 0 \wedge \left( \frac{3}{4}b + \frac{1}{4}a, \frac{5}{4}b - \frac{1}{4}a \right)\right]}\)

Chciałbym się dowiedzieć na jakiej podstawie stwierdzamy, że przedziały są rozłączne?

Spójrz na to bardziej geometrycznie. Najwięcej powiedziałby rysunek, ale od strony algebraicznej wygląda to tak:

\(\displaystyle{ \bullet}\) Jeśli \(\displaystyle{ a<b,}\) to dla każdego \(\displaystyle{ x \in (a-\varepsilon, a+\varepsilon)}\) jest

\(\displaystyle{ x < a+\varepsilon = a+\frac{b-a}{4} < a+\frac{b-a}{2} = \frac{a+b}{2}.}\)

Jednocześnie, dla każdego \(\displaystyle{ y \in (b-\varepsilon, b+\varepsilon)}\) jest

\(\displaystyle{ y > b-\varepsilon = b- \frac{b-a}{4} > b-\frac{b-a}{2} = \frac{a+b}{2}.}\)

Gdyby więc istniał taki \(\displaystyle{ z,}\) że jednocześnie \(\displaystyle{ z \in (a-\varepsilon, a+\varepsilon)}\) i \(\displaystyle{ z \in (b-\varepsilon, b+\varepsilon),}\) to wtedy musiałoby zachodzić

\(\displaystyle{ \frac{a+b}{2} < z < \frac{a+b}{2},}\)

a to w jasny sposób prowadzi do sprzeczności.
Obrazowo rzecz ujmując, cały przedział \(\displaystyle{ (a-\varepsilon, a+\varepsilon)}\) leży poniżej punktu \(\displaystyle{ \frac{a+b}{2},}\) a cały przedział \(\displaystyle{ (b-\varepsilon, b+\varepsilon)}\) - powyżej; i dlatego są rozłączne.

\(\displaystyle{ \bullet}\) Przypadek, gdy \(\displaystyle{ b<a,}\) jest w pełni analogiczny.

Dzięki.