Matematyka.pl

Czy szereg jest zbieżny?

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2^{\sqrt{n}}}}\)

\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{2^{n}}=\lim\limits_{n\to\infty}(\frac{1}{2})^{n}=0\\}\)
z kryterium d'Alemberta:

\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{2^{n+1}}}{\frac{1}{2^{n}}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{2^{n}}{2^{n+1}}=\frac{1}{2}}\)

zbieżny

Jesli dobrze widze, to możesz sobie poradzic tak.

Najpierw stosujesz kryterium kondensacyjne, masz do rozważenia zbierznośc szeregu
\(\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^{\infty}2^{n-\sqrt{2^{n}}}}\)

teraz zauważasz że \(\displaystyle{ n-\sqrt{2^{n}}}\) od pewnego N
czyli
\(\displaystyle{ \frac{n^{2}}{2^{n}}}\)

żeby pokazac ze tak jest zajmiemy sie szeregiem \(\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{2^{n}}}\)

z kryterium Couchy'ego (d'Alemberta zreszta tez) wyjdzie że jest zbiezny czyli ciąg który go tworzy zbiega do zera.

wiec istnieje N takie że dla n>N nierówność \(\displaystyle{ \frac{n^{2}}{2^{n}}}\) zachodzi zgodnie z definicja granicy

skąd dla >N
\(\displaystyle{ 2^{n-\sqrt{2^{n}}}\leq 2^{-n}}\)

i w zasadzie koniec

Zachodzi

\(\displaystyle{ \frac{1}{2^{\sqrt{n}}} qslant \frac{1}{n^2}}\) dla \(\displaystyle{ n qslant 256}\)

Czyli

\(\displaystyle{ \sum \frac{1}{2^{\sqrt{n}}} qslant \sum \frac{1}{n^2}}\) dla \(\displaystyle{ n qslant 256}\)

Zatem szereg jest zbieżny na mocy kryteriu porównawczego.