Ciag \(\displaystyle{ t_n}\) jest okreslony tak:
\(\displaystyle{ t_1=3 ,\ t_2=\frac{9}{2}, \ t_{n+2}=\frac{5}{2}t_{n+1} -t_n}\)
Wykazać, że \(\displaystyle{ s= \sum_{n=1}^{\infty} \arcctg t_n}\)
istnieje i obliczyć s
Ciag i szereg
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 13374
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3425 razy
- Pomógł: 809 razy
Ciag i szereg
Ostatnio zmieniony 30 paź 2025, o 15:23 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
Trol-24-11-2025
Re: Ciag i szereg
Najpierw znajdziemy wzór ogólny jawny ciągu, nie będę tym zanudzał szeregami funkcyjnymi , on wynosi:
\(\displaystyle{ t_{n}=2^n+2^{1-n}}\)
mamy obliczyć:
\(\displaystyle{ s= \sum_{n=1}^{ \infty } \arcctg(2^n+2^{1-n})}\)
(*) \(\displaystyle{ \arcctg(2^n+2^{1-n})=\arctg \frac{1}{2^n+2^{1-n}}=\arctg \frac{2^{n-1}}{2^n \cdot 2^{n-1}+1}=\arctg \frac{2^n-2^{n-1}}{2^n \cdot 2^{n-1}+1}=\arctg 2^n-\arctg 2^{n-1} }\)
suma ta będzie zbieżna ponieważ:
\(\displaystyle{ 0< \sum_{n=1}^{ \infty } \arctg \frac{1}{2^n+2^{n-1}} < \sum_{n=1}^{ \infty }\arctg \frac{1}{2^n}}\)
a ten ostatni jest zbieżny można się łatwo pobawić...
obłóżmy suma ten ostatni i otrzymamy:
\(\displaystyle{ \sum_{n-1}^{ \infty } \left( \arctg 2^n-\arctg 2^{n-1}\right) = \left| \sum_{n-1}^{ \infty } \left( \arctg 2^n-\arctg 2^{n-1}\right) \right|= }\)
ponieważ suma jest dodatnia
\(\displaystyle{ =\left| \arctg 2-\arctg 1+\arctg 2^2-\arctg 2+...\right| }\)
wszystko się balansuje (skraca) a więc=
\(\displaystyle{ \left| -\arctg 1\right| = \frac{\pi}{4} }\)
\(\displaystyle{ s=\frac{\pi}{4}}\)...
\(\displaystyle{ t_{n}=2^n+2^{1-n}}\)
mamy obliczyć:
\(\displaystyle{ s= \sum_{n=1}^{ \infty } \arcctg(2^n+2^{1-n})}\)
(*) \(\displaystyle{ \arcctg(2^n+2^{1-n})=\arctg \frac{1}{2^n+2^{1-n}}=\arctg \frac{2^{n-1}}{2^n \cdot 2^{n-1}+1}=\arctg \frac{2^n-2^{n-1}}{2^n \cdot 2^{n-1}+1}=\arctg 2^n-\arctg 2^{n-1} }\)
suma ta będzie zbieżna ponieważ:
\(\displaystyle{ 0< \sum_{n=1}^{ \infty } \arctg \frac{1}{2^n+2^{n-1}} < \sum_{n=1}^{ \infty }\arctg \frac{1}{2^n}}\)
a ten ostatni jest zbieżny można się łatwo pobawić...
obłóżmy suma ten ostatni i otrzymamy:
\(\displaystyle{ \sum_{n-1}^{ \infty } \left( \arctg 2^n-\arctg 2^{n-1}\right) = \left| \sum_{n-1}^{ \infty } \left( \arctg 2^n-\arctg 2^{n-1}\right) \right|= }\)
ponieważ suma jest dodatnia
\(\displaystyle{ =\left| \arctg 2-\arctg 1+\arctg 2^2-\arctg 2+...\right| }\)
wszystko się balansuje (skraca) a więc=
\(\displaystyle{ \left| -\arctg 1\right| = \frac{\pi}{4} }\)
\(\displaystyle{ s=\frac{\pi}{4}}\)...
Ostatnio zmieniony 30 paź 2025, o 15:23 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.