Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ f_{n}}\) bedzie n-tym wyrazem ciagu Fibonacciego. Wykaz, ze jesli \(\displaystyle{ f_{n}}\) jest liczba parzysta, to \(\displaystyle{ 3}\) jest dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ n}\). Jak takie cos wykazac?
Dziekuje.

Zauważ że parzyste są tylko co trzecie wyrazy ciągu jako że są sumą dwóch wcześniejszych nieparzystych liczb.

Widze, iz tak jest, ale jaka mam pewnosc, ze caly czas tak bedzie? Jest jakis dowod na to?-- 26 cze 2018, o 12:23 --Jesli parzyste beda tylko trzecie wyrazy ciagu, to juz zadanie bedzie zrobione, ale dlaczego tak jest?

To raczej dość oczywiste, że ciąg wpada w cykl \(\displaystyle{ niep.->niep.->p.->...}\) z definicji. Należy to tak naprawdę ubrać w ładne słowa

Te "ładne słowa" noszą nazwę "indukcja matematyczna". Należy przy jej użyciu udowodnić, że

\(\displaystyle{ (\forall n \in \NN) \, ( f_n \text{ jest liczbą parzystą} \iff 3 \mid n ).}\)

Alternatywnie można bezpośrednio pokazać, że \(\displaystyle{ (\forall n \in \NN) \, f_{n+3} \equiv f_n \pmod{2}}\), a następnie wykorzystać to w indukcyjnym dowodzie, że

\(\displaystyle{ (\forall n \in \NN) \, ( f_{3n+1} \text{ oraz } f_{3n+2} \text{ są nieparzyste} ).}\)

Dziekuje Dasio11, o to mi chodzilo!:) Ubieranie to w ladne slowa nie zapewnia prawidlowosci tezy. Teraz wize. Pozdrawiam.