Matematyka.pl

Ciąg \(\displaystyle{ \left( a_i\right) = \left( \left( n+i\right)\bmod\ 2 n\right) _{i=0} ^{ n} }\) jest prosty, zaczyna się w \(\displaystyle{ n}\) i rośnie do \(\displaystyle{ 2n-1}\) , aż na pozycji \(\displaystyle{ i=n}\) kończy się zerem.
Można utworzyć rodzinę takich ciągów dla \(\displaystyle{ n = 1, 2, 3,...}\), aż dojdziemy do:
\(\displaystyle{ n \rightarrow \infty \left( a_i\right) = \left( \left( n+i\right)\bmod\ 2 n\right) _{i=0} ^{ n} }\)
Czy jest to poprawna definicja ciągu? Czy taki ciąg ma sens? Jeśli tak, to czy zakończy się zerem, czy też będzie zawsze rosnący?

WaldekZ pisze: 21 sie 2025, o 23:28Można utworzyć rodzinę takich ciągów dla \(\displaystyle{ n = 1, 2, 3,...}\), aż dojdziemy do:
\(\displaystyle{ n \rightarrow \infty \left( a_i\right) = \left( \left( n+i\right)\bmod\ 2 n\right) _{i=0} ^{ n} }\)

Do niczego nie dojdziemy. W ten sposób zdefiniujesz ciąg skończonych (coraz dłuższych) ciągów. Natomiast nie wiadomo, co miałoby oznaczać \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty.}\)

WaldekZ pisze: 21 sie 2025, o 23:28 Czy jest to poprawna definicja ciągu? Czy taki ciąg ma sens?

Definicja nie jest poprawna, bo nie wiadomo, co ma oznaczać przejście graniczne. Ergo taki "ciąg" nie ma sensu (choć ciężko mówić o sensie czegoś, co nie jest zdefiniowane).

WaldekZ pisze: 21 sie 2025, o 23:28Jeśli tak, to czy zakończy się zerem, czy też będzie zawsze rosnący?

Żaden nieskończony ciąg nie ma "końca". Żaden ciąg nie jest "zawsze" rosnący - albo jest rosnący, albo nie.

JK

Jan Kraszewski pisze: 21 sie 2025, o 23:48 Definicja nie jest poprawna, bo nie wiadomo, co ma oznaczać przejście graniczne.

Mam pewne braki w dziedzinie nieskończoności i wzorów z nimi związanych. Dlatego zadaję tu pytania.
Opiszę więc to słownie. Może na początek zacznę od... początku, a jak będzie ok, to dopiszę ciąg dalszy dochodząc, mam nadzieję, do sedna.

v.1
Tworzę ciąg (indeksowany od \(\displaystyle{ 1}\)) wszystkich ciągów takich, że ciąg o numerze \(\displaystyle{ n}\) zawiera kolejne liczby od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ n}\). Czyli:
\(\displaystyle{ ( (1), (1, 2), (1, 2, 3), ... )}\).
\(\displaystyle{ \left( a_n\right) = \left( \left( i\right)_{i=1}^n \right)_{n=1}^ \infty \ \ }\) Czy taki zapis oddaje to, co opisałem?

Zakładam też, że wśród ciągów w \(\displaystyle{ a_n}\) znajduje się ciąg rosnący złożony ze wszystkich liczb naturalnych większych od zera \(\displaystyle{ (1, 2, 3, ...)}\).

Czy taka definicja jest poprawna?

WaldekZ pisze: 22 sie 2025, o 19:54v.1
Tworzę ciąg (indeksowany od \(\displaystyle{ 1}\)) wszystkich ciągów takich, że ciąg o numerze \(\displaystyle{ n}\) zawiera kolejne liczby od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ n}\). Czyli:
\(\displaystyle{ ( (1), (1, 2), (1, 2, 3), ... )}\).
\(\displaystyle{ \left( a_n\right) = \left( \left( i\right)_{i=1}^n \right)_{n=1}^ \infty \ \ }\) Czy taki zapis oddaje to, co opisałem?

Opis jest znośny, choć akurat nie jest to sytuacja, o której pisałeś w pierwszym poście.

WaldekZ pisze: 22 sie 2025, o 19:54Zakładam też, że wśród ciągów w \(\displaystyle{ a_n}\) znajduje się ciąg rosnący złożony ze wszystkich liczb naturalnych większych od zera \(\displaystyle{ (1, 2, 3, ...)}\).

I to jest błędne założenie, bo wszystkie te ciągi są skończone.

WaldekZ pisze: 22 sie 2025, o 19:54Czy taka definicja jest poprawna?

Taka to znaczy jaka? Definicja ciągu skończonych ciągów jest OK, potem już nic nie ma.

JK

Jan Kraszewski pisze: 22 sie 2025, o 20:18 Definicja ciągu skończonych ciągów jest OK, potem już nic nie ma

Twoje uwagi są doprawdy minimalistyczne. Po przeczytaniu rozumiem je, ale poprosiłbym o jakiś komentarz dotyczący możliwości utworzenia tego ciągu ciągów. Czyli, czy da się to zrobić łącznie z ciągiem nieskończonym, czy też nie da się. Jeśli się da - to jak? Np. taka krzywa Hilberta dla każdego kroku \(\displaystyle{ n}\) jest zrobiona ze skończonej liczby odcinków które można ponumerować, a ostatecznie jest ich nieskończenie wiele (i to chyba nawet nieprzeliczalnie?). To tylko analogia, ale tam też jest podobny ciąg ciągów - więc można, tylko jak?

WaldekZ pisze: 22 sie 2025, o 21:36Twoje uwagi są doprawdy minimalistyczne.

Moje uwagi dotyczą tego co piszesz. Natomiast ciężko mi komentować Twoje zamiary, bo ich po prostu nie rozumiem.

WaldekZ pisze: 22 sie 2025, o 21:36Po przeczytaniu rozumiem je, ale poprosiłbym o jakiś komentarz dotyczący możliwości utworzenia tego ciągu ciągów.

Jakiego "ciągu ciągów"? Jeden ciąg ciągów (skończonych) zdefiniowałeś (a nawet dwa) i te definicje były akceptowalne.

WaldekZ pisze: 22 sie 2025, o 21:36Czyli, czy da się to zrobić łącznie z ciągiem nieskończonym, czy też nie da się. Jeśli się da - to jak?

Ale jakie "to"? Masz jakieś wyobrażenie tego, co chcesz zrobić, ale ja tego czegoś nie rozumiem. Być może dlatego, że owo wyobrażenie nie pasuje do rzeczywistości matematycznej, co może wynikać z tego, że masz niewłaściwą intuicję nieskończoności. Ale to tylko moje przypuszczenie.

Chętnie Ci pomogę, ale dopiero wtedy, gdy zrozumiem w czym...

WaldekZ pisze: 22 sie 2025, o 21:36Np. taka krzywa Hilberta dla każdego kroku \(\displaystyle{ n}\) jest zrobiona ze skończonej liczby odcinków które można ponumerować, a ostatecznie jest ich nieskończenie wiele (i to chyba nawet nieprzeliczalnie?). To tylko analogia, ale tam też jest podobny ciąg ciągów - więc można, tylko jak?

A skąd pomysł, że krzywa Hilberta składa się z odcinków?

JK

Poprzednie moje problemy jakoś sobie poukładałem, dziękuję. Mam jednak nowy.
Ciąg liczb naturalnych jest rozbieżny do nieskończoności. Czy ciąg \(\displaystyle{ A}\) złożony z tych samych elementów, co zbiór \(\displaystyle{ N}\), ale z odwróconym porządkiem, czyli "zbieżny" z nieskończoności jest poprawnym obiektem matematycznym? Próbuję to formalnie zapisać, ale zapewne znowu coś pójdzie źle :

Z czego jest zrobiony \(\displaystyle{ A}\):
\(\displaystyle{ A: \forall_a \ a \in A \Leftrightarrow a \in N }\)

a tu jak rozumieć porządek w \(\displaystyle{ A}\) (oznaczony \(\displaystyle{ Succ_A}\)):
\(\displaystyle{ A = (( \forall n \in N~~ a=Succ_N(n) \Rightarrow Succ_A(a) = n) \wedge \neg(\exists Succ_A(0)) }\)

Ma to jakiś sens?

Obawiam się, że mylisz różne pojęcia.

Ciąg to funkcja, którą dziedziną jest zbiór liczb naturalnych \(\displaystyle{ \NN}\). Rozumiem, że to co nazywasz "ciągiem \(\displaystyle{ A}\)" to po prostu funkcja \(\displaystyle{ f:\NN\to\RR}\) zadana wzorem \(\displaystyle{ f(n)=n}\). Taki ciąg liczb rzeczywistych jest istotnie rozbieżny do nieskończoności.

Problem zaczyna się potem, bo piszesz o "ciągu \(\displaystyle{ A}\) złożonym z tych samych elementów, co zbiór \(\displaystyle{ N}\), ale z odwróconym porządkiem" i to już nie ma sensu, bo tu nie ma żadnego ciągu (przypomina: ciąg to pewna specjalna funkcja).

Natomiast to, co starasz się opisać nie ma de facto związku z ciągami, tylko z porządkami na zbiorze liczb naturalnych (porządek na zbiorze \(\displaystyle{ X}\) to pewna specjalna relacja na tym zbiorze). Ty zaczynasz od standardowego porządku na zbiorze liczb naturalnych \(\displaystyle{ \NN}\) (czyli \(\displaystyle{ 0<1<2<3<...}\)) i pytasz, czy można taki porządek "odwrócić". To oczywiście można zrobić, jest to relacja odwrotna do standardowego porządku i ona też jest (innym) porządkiem na zbiorze liczb naturalnych \(\displaystyle{ \NN}\) (takim, że \(\displaystyle{ 0\succ 1\succ 2\succ 3\succ...}\)). Nie ma to jednak żadnego związku z "ciągami" czy "zbieżnością".

Natomiast próby zapisania symbolicznie Twoich pomysłów to jednak porażka. Moja rada jest taka: żeby próbować zapisać coś symbolicznie w sposób poprawny trzeba mieć trochę doświadczenia. Dużo lepiej będzie, gdy będziesz starał się przekazywać swoje pomysły opisowo, słowami. Myślę, że tak będzie łatwiej dogadać się.

JK

Mam kolejny, "pogmatwany" problem. Tym razem dotyczący ciągu Collatza, który nie wiadomo, czy może być rozbieżny do nieskończoności. Z tego, co wiem, bezskuteczne poszukiwania trwają. Nieskończoności mnie nieco przerastają, więc zwracam się z takim pytaniem:

Załóżmy teoretycznie, że istnieje magiczna funkcja, która dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) zwraca zbiór wszystkich liczb takich, że ciągi Collatza zaczynające się od każdej z nich mają \(\displaystyle{ n}\) początkowych wyrazów rosnących.
I tu pojawia się mój problem - w zależności którą półkulą próbuję go ogarnąć mam różne wyniki - więc zadaję pytanie z wariantami:

Czy to znaczy że:

1. Istnieje ciąg Collatza rozbieżny do nieskończoności.
Moja konkluzja 1: Dla każdego \(\displaystyle{ n}\) można wskazać rosnący ciąg długości \(\displaystyle{ n+1}\), czyli ostatecznie jego długość jest nieograniczona. Więc tak, istnieje.
2. Nie istnieje ciąg Collatza rozbieżny do nieskończoności.
Moja konkluzja 2: Wszystkie ciągi mają skończoną długość \(\displaystyle{ n}\), a ponieważ innych podciągów nie ma, to nie ma nieskończonego ciągu rosnącego. Więc nie istnieje.
3. Nie wiadomo.
Moja konkluzja 3: Ciąg nieskończony może być utworzony (a może nie) w zupełnie inny sposób nie mający związku z tą magiczną funkcją, więc trudno powiedzieć.
4. Jeszcze inne wyjaśnienie.

WaldekZ pisze: 14 wrz 2025, o 00:44Załóżmy teoretycznie, że istnieje magiczna funkcja, która dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) zwraca zbiór wszystkich liczb takich, że ciągi Collatza zaczynające się od każdej z nich mają \(\displaystyle{ n}\) początkowych wyrazów rosnących.

Czyli definiujesz pewną funkcję \(\displaystyle{ F:\NN^+\to P(\NN^+).}\) Warto przy okazji zwrócić uwagę, że nie istnieje coś takiego jak "wyraz rosnący", ponieważ bycie rosnącym jest własnością ciągu, a nie jego pojedynczych wyrazów. Rozumiem, że chodziło Ci o to, iż pierwsze \(\displaystyle{ n}\) wyrazów odpowiedniego ciągu Collatza tworzy (skończony) ciąg rosnący.

WaldekZ pisze: 14 wrz 2025, o 00:44Czy to znaczy że:

To jeszcze nic nie znaczy, bo to tylko definicja funkcji. W dodatku niezbyt ciekawej funkcji, bo \(\displaystyle{ F(1)=\NN^+, F(2)=\{2n+1:n\in\NN\}}\) oraz \(\displaystyle{ F(k)=\emptyset}\) dla \(\displaystyle{ k\ge 2.}\)

WaldekZ pisze: 14 wrz 2025, o 00:441. Istnieje ciąg Collatza rozbieżny do nieskończoności.
Moja konkluzja 1: Dla każdego \(\displaystyle{ n}\) można wskazać rosnący ciąg długości \(\displaystyle{ n+1}\), czyli ostatecznie jego długość jest nieograniczona. Więc tak, istnieje.

Mam silne wrażenie, że mylisz założenie z tezą.

Natomiast stwierdzenie "Dla każdego \(\displaystyle{ n}\) można wskazać rosnący ciąg długości \(\displaystyle{ n+1}\)" w odniesieniu do ciągów Collatza jest bardzo nieprawdziwe - ciągi Collatza są tak dalekie od bycia ciągami rosnącymi (nawet w kawałkach), jak to tylko możliwe - żadne trzy kolejne wyrazy żadnego ciągu Collatza nie tworzą trzyelementowego ciągu rosnącego.

WaldekZ pisze: 14 wrz 2025, o 00:442. Nie istnieje ciąg Collatza rozbieżny do nieskończoności.
Moja konkluzja 2: Wszystkie ciągi mają skończoną długość \(\displaystyle{ n}\), a ponieważ innych podciągów nie ma, to nie ma nieskończonego ciągu rosnącego. Więc nie istnieje.
3. Nie wiadomo.
Moja konkluzja 3: Ciąg nieskończony może być utworzony (a może nie) w zupełnie inny sposób nie mający związku z tą magiczną funkcją, więc trudno powiedzieć.
4. Jeszcze inne wyjaśnienie.

A tu już zupełnie nie wiem, o co Ci chodzi. Ale ze względu na wcześniejszą uwagę na temat zupełnego braku magiczności Twojej funkcji nie ma to większego znaczenia.

Być może miałeś co innego na myśli, ale w takim wypadku musisz postarać się lepiej to wytłumaczyć.

JK

Jan Kraszewski pisze: 14 wrz 2025, o 14:10 Natomiast stwierdzenie "Dla każdego n można wskazać rosnący ciąg długości n+1" w odniesieniu do ciągów Collatza jest bardzo nieprawdziwe

Mój błąd - chodziło o ciąg Collatza bez liczb parzystych. Czyli \(\displaystyle{ c_0}\) jest nieparzyste, a \(\displaystyle{ c_{i+1}= \frac {3 c_i + 1}{2^p}}\) , gdzie \(\displaystyle{ p}\) to od razu właściwa potęga.
Zapomniałem to zaznaczyć.

WaldekZ pisze: 14 wrz 2025, o 16:19 Mój błąd - chodziło o ciąg Collatza bez liczb parzystych.

No to nie jest już ciąg Collatza, tylko jego podciąg...

WaldekZ pisze: 14 wrz 2025, o 16:19Czyli \(\displaystyle{ c_0}\) jest nieparzyste, a \(\displaystyle{ c_{i+1}= \frac {3 c_i + 1}{2^p}}\) , gdzie \(\displaystyle{ p}\) to od razu właściwa potęga.

\(\displaystyle{ p=\max\{k\in\NN^+:2^k\mid c_i\}}\)

No dobrze, to wygląda sensowniej (bierzesz zwykły ciąg Collatza, a następnie rozpatrujesz jego podciąg powstały poprzez usunięcie wszystkich liczb parzystych), ale teraz wyraźniejszy staje się problem z tym, co robisz później. Definiujesz funkcję, która nie wydaje się być do czegokolwiek potrzebna, a potem wygłaszasz pewne stwierdzenia, z którymi mam problemy, bo nie bardzo wiem, czego dotyczą.

WaldekZ pisze: 14 wrz 2025, o 00:44 1. Istnieje ciąg Collatza rozbieżny do nieskończoności.
Moja konkluzja 1: Dla każdego \(\displaystyle{ n}\) można wskazać rosnący ciąg długości \(\displaystyle{ n+1}\), czyli ostatecznie jego długość jest nieograniczona. Więc tak, istnieje.

Co chcesz tutaj przekazać? Konkluzja wygląda na wnioskowanie, ale nie wiem z czego wnioskujemy i co wnioskujemy.

WaldekZ pisze: 14 wrz 2025, o 00:442. Nie istnieje ciąg Collatza rozbieżny do nieskończoności.
Moja konkluzja 2: Wszystkie ciągi mają skończoną długość \(\displaystyle{ n}\), a ponieważ innych podciągów nie ma, to nie ma nieskończonego ciągu rosnącego. Więc nie istnieje.

Podobnie.

Dlatego proponuję, żebyś w miarę prosty sposób postarał się jeszcze raz wyjaśnić, na czym polega ten Twój "pogmatwany" problem z ciągami Collatza.

JK

Definiuję ciąg \(\displaystyle{ C}\):
\(\displaystyle{ c_0 = 2 k+1}\) dla \(\displaystyle{ k \in \NN}\)
\(\displaystyle{ c_{i+1}= \frac {3 c_i + 1} {2^{p_i}} }\) gdzie \(\displaystyle{ p_i \in \NN}\) jest jedyną liczbą dla której \(\displaystyle{ c_{i+1}}\) jest nieparzyste

Niech będzie dana funkcja \(\displaystyle{ f(n)}\) , która dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN \wedge n>1}\) zwraca \(\displaystyle{ c_0=f(n)}\) takie, że \(\displaystyle{ n}\)-elementowy podciąg ciągu \(\displaystyle{ C}\): \(\displaystyle{ c_0 ... c_{n-1}}\) jest rosnący.

Pytanie: Czy na podstawie powyższego można powiedzieć coś istotnego o istnieniu lub nieistnieniu rozbieżnego do nieskończoności ciągu C?

WaldekZ pisze: 15 wrz 2025, o 21:31 Definiuję ciąg \(\displaystyle{ C}\):
\(\displaystyle{ c_0 = 2 k+1}\) dla \(\displaystyle{ k \in \NN}\)
\(\displaystyle{ c_{i+1}= \frac {3 c_i + 1} {2^{p_i}} }\) gdzie \(\displaystyle{ p_i \in \NN}\) jest jedyną liczbą dla której \(\displaystyle{ c_{i+1}}\) jest nieparzyste

Definiujesz nie ciąg \(\displaystyle{ C}\), tylko indeksowaną rodzinę ciągów \(\displaystyle{ C_k}\) dla \(\displaystyle{ k\in\NN.}\)

WaldekZ pisze: 15 wrz 2025, o 21:31Niech będzie dana funkcja \(\displaystyle{ f(n)}\) , która dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN \wedge n>1}\) zwraca \(\displaystyle{ c_0=f(n)}\) takie, że \(\displaystyle{ n}\)-elementowy podciąg ciągu \(\displaystyle{ C}\): \(\displaystyle{ c_0 ... c_{n-1}}\) jest rosnący.

Tak nie można, bo to nie jest funkcja. Możesz co najwyżej liczbie naturalnej \(\displaystyle{ n\ge 2}\) przypisać zbiór tych liczb naturalnych nieparzystych, że początkowe \(\displaystyle{ n}\) wyrazów powyższego ciągu, zaczynającego się od takiej liczby tworzy (pod)ciąg rosnący.

WaldekZ pisze: 15 wrz 2025, o 21:31Pytanie: Czy na podstawie powyższego można powiedzieć coś istotnego o istnieniu lub nieistnieniu rozbieżnego do nieskończoności ciągu C?

No i tu są dwa problemy. Po pierwsze, "powyższe" jest tylko jakąś definicją, a na podstawie definicji ciężko cokolwiek wnioskować. Po drugie, nie wiadomo, czego ma dotyczyć wnioskowanie - użyłeś oznaczenia "ciąg \(\displaystyle{ C}\)", które tak naprawdę oznacza wiele ciągów. Z jednej strony masz definicję, która dotyczy wszystkich tych ciągów naraz, z drugiej strony wygląda, jakbyś chciał wyciągać wnioski na temat pojedynczego ciągu.

JK