Badanie zbieżności funkcji. Czy \sqrt[n]{n!} zbiega do 1?

kej.ef · Post autor: **kej.ef** » 15 sie 2004, o 10:05

To zadanie też mi sprawiało problem, ale już po wszystkim, jeśli ktoś jeszcze chce się z nim zmierzyć, to proszę bardzo:

Czy następujące wyrażnie:

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{n!}}\)

przy \(\displaystyle{ n\to\infty}\) zbiega do 1?

Powodzenia

Gość · Post autor: **Gość** » 15 sie 2004, o 10:19

Wystarczy sobie wyprowadzić i zastosować .

Wychodzi \(\displaystyle{ \infty}\)

kej.ef · Post autor: **kej.ef** » 15 sie 2004, o 12:21

WOW! Ja o tym tak nie myślałem (troche to bardziej skomplikowane), ale rzeczywiście tak wychodzi odpowiedz na to pytanie, z tej przybliżoneje wartości n!

Post autor: **Arek** » 15 sie 2004, o 17:41

Kocham wzór Stirlinga!!!
To chyba jeden z najbardziej przydatnych wzorów w matmie "elementarnie - wyższej" - a tu się rzeczywiście tak liczy, choć istnieje też niestirlingowski sposób...

Gość · Post autor: **Gość** » 15 sie 2004, o 18:11

no mozna. na przyklad zlogarytmowac ta granice, wyjdzie ln(n!)/n , z n zrobic x, zastosowac regule de l'Hospitala, wyjdzie Gamma'(x)/Gamma(x) = Digamma(x) i korzystajac z tego ze dla naturalnych x Digamma(x) = H_{x-1} - \gamma gdzie H_n to n-ta liczba harmoniczna a \gamma to stala Eulera-Mascheroniego wychodzi nieskonczonosc z kryterium Dirichleta.

Post autor: **Arek** » 15 sie 2004, o 18:13

ekhem... /kaszel/
Funkcja gamma? ... no czemu nie...

Chodziło mi o licealną matmę...

Gość · Post autor: **Gość** » 15 sie 2004, o 18:24

nie lubie sie ograniczac :J

Post autor: **Arek** » 15 sie 2004, o 18:27

Więc sam widzisz, że warto by było sie zarejestrować

Post autor: **Skrzypu** » 15 sie 2004, o 20:49

Arek pisze:ekhem... /kaszel/

Hehe, dla niewtajemniczonych jest podpowiedź w nawiasie

Post autor: **Arek** » 15 sie 2004, o 21:49

Człowieku - jak oglądałem na DVD "między słowami", to było tak:

japońcy mówią, a pod spodem /japanese murmuring/
albo dzwoni dzwonek, a pod spoder /door bell/

Więc...

Gość · Post autor: **Gość** » 15 sie 2004, o 21:58

Chłopaki nie przesadzajcie ze stosowaniem takih armat maematychnych... nie ma co ale trzeba tak kombinowc zeby rozwizać jak najprosciej...

kej.ef · Post autor: **kej.ef** » 16 sie 2004, o 06:45

(WOW!), nie mam pojęcia czym jest funkcja gamma . Ja myślałem o tym w bardzo banalny sposób, tak że rozwiązanie zajmuje gdzieś linijke, dwie, a tu widze że jest mnóstwo innych sposobów (nawet bym nie przypuszczał). W każdym bądź razie dzięki, fajnie znać inne drogi, choć gammą jeszcze się nie spotkałem. Pozdrawiam

Gość · Post autor: **Gość** » 16 sie 2004, o 19:19

pardon, blad - n! zamieniamy na Gamma(x+1) a nie Gamma(x). dalej analogicznie.