Matematyka.pl

Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór rozwiązań równania \(\displaystyle{ \left| x+y\right| =\left| x\right| +\left| y\right|}\).

Jak się rozwiązuje takie równania?

Rozbijasz na przypadki, tak aby pozbyć się wartości bezwzględnych

Obie strony są dodatnie, więc

\(\displaystyle{ (\left| x+y\right|)^2 =(\left| x\right| +\left| y\right|)^2}\)

\(\displaystyle{ x^2 +2\left| xy\right|+y^2=x^2+2xy+y^2}\)

\(\displaystyle{ \left| xy\right| =xy}\)

\(\displaystyle{ xy \ge 0}\)

To jest spełnione dla x,y leżących w pierwszej i trzeciej ćwiartce, wraz z osiami.

Nie rozumiem tych przekształceń. :/

Czemu?:

\(\displaystyle{ \left|x+y \right| ^{2} = x^{2} +2\left| xy\right| + y^{2}}\)?

Nie powinno być tak?:

\(\displaystyle{ \left|x+y \right| ^{2}=\left| x^{2}+2xy+ y^{2} \right|}\)
Tak samo z tym drugim, nie powinno być tak?:

\(\displaystyle{ \left( \left| x\right|+\left| y\right| \right) ^{2}= x^{2} + 2\left| xy\right| + y^{2}}\)

To znaczy wiem, że powinno być tak jak napisała Ania221, bo się zgadza z odpowiedzią, ale nie rozumiem dlaczego. :/

Popatrz na własności wartości bezwzględnej.
\(\displaystyle{ (\left|x \right| )^2=x^2}\)

Właściwie, to nie jest wymieniane jako własność modułu, ale liczba podniesiona do kwadratu jest zawsze dodatnia.
A moduł z liczby dodatniej jest równy tej liczbie.

Możesz też zrobić to klasycznie, rozbijając na przypadki, tylko że tu akurat będzie ich 8...

Już pojąłem, dzięki wielkie!