Matematyka.pl

Mam do rozwiązania nierówność:

\(\displaystyle{ \left|x+1 \right|+ ft|2x+4 \right| 9}\)

Jednak nie potrafię zrozumieć obsługi tego wszystkiego, wiem, że trzeba zrobić to na przedziałach, ale nie wiem co dalej z tym. Jeżeli można to prosiłbym o podanie samych kroków - zrób to, zrób to, wybierz to. Wynik mnie nie interesuje, bo mam trochę takich nierówności do zrobienia i lepiej będzie jak poznam schemat.

Pozdrawiam.

1. 3 przedziały : x

najpierw bierzesz wszystkie moduły w zadaniu i przyrównujesz je do zera w tym przypadku
\(\displaystyle{ x+1=0}\)
\(\displaystyle{ 2x+4=0}\)
\(\displaystyle{ x=-1}\)
\(\displaystyle{ x=-2}\)

te rozwiązania wyznaczają ci wszystkie przedziały. w tym przypadku przedziały to:
\(\displaystyle{ x x x}\)

i teraz jeśli x jest mniejszy od tego rozwiązania granicznego, to moduł, z którego wziąłeś to rozwiązanie jest ujemny, a więc w pierwszym przypadku oba są ujemne, w drugim tylko \(\displaystyle{ |x+1|=0}\), a w trzecim oba dodatnie. potem sprawdzasz z założeniami i koniec.

1. miejsca zerowe wyrażeń w nawiasach: x=-1, x=-2;
2. Teraz patrzymy jak wyrażenia w nawiasach zachowują się w przedziałach wyznaczonych przez te miejsca zerowe (\(\displaystyle{ (-infty;-2),[-2,-1),[-1,infty)}\)
3. Każdy przedział rozpatrujemy jako oddzielny przypadek, potem to zsumujemy
4. jeżeli wartośc wyrażenia w module jest w danym przedziale ujemna, to stawiamy przed wyrażeniem minus i "zdejmujemy" moduł, jeżeli dodatnia to zdejmujemy moduł bez niczego.
5. Wyliczamy przedział jaki wychodzi z tej nierówności bez modułów i robimy częśc wspólną z przedziałem (którymś z \(\displaystyle{ (-infty;-2),[-2,-1),[-1,infty)}\)) i tak dalej
6. Potem robimy sumę tych iloczynów i to jest nasz wynik.

Mam nadzieję, że wszystko jasne

Czyli po rozpatrzeniu przypadków powinienem mieć
\(\displaystyle{ - ft (x+1 \right) - ft (2x+4 \right) 9

- ft (x+1 \right) + ft (2x+4 \right) 9

ft (x+1 \right) + ft (2x+4 \right) 9}\)
I z tego wyjdą mi 3 przedziały, biorę część wspólną i to jest wynik?

Nie, np. dla pierwszego równania robisz cześć wspólną wyniku i przedziału - tu będzie akurat \(\displaystyle{ (-\infty;-2)}\). Robisz tak dla wszystkich kolejnych równań, a dopiero te przedziały sumujesz.

Deith pisze:Czyli po rozpatrzeniu przypadków powinienem mieć
\(\displaystyle{ - ft (x+1 \right) - ft (2x+4 \right) 9

- ft (x+1 \right) + ft (2x+4 \right) 9

ft (x+1 \right) + ft (2x+4 \right) 9}\)
I z tego wyjdą mi 3 przedziały, biorę część wspólną i to jest wynik?

\(\displaystyle{ \begin{cases} x (- ;-2) \\ - ft (x+1 \right) - ft (2x+4 \right) 9 \end{cases}}\)
lub
\(\displaystyle{ egin{cases} x [-2;-1) \ - ft (x+1
ight) + ft (2x+4
ight) 9 end{cases}}\)
lub
\(\displaystyle{ egin{cases} x [-1;+ ) \ ft (x+1
ight) + ft (2x+4
ight) 9 end{cases}}\)

1. Rysujesz sobie oś i nad nią,z boku, wpisujesz sobie: \(\displaystyle{ x+1}\) a powyżej \(\displaystyle{ 2x+4}\) (bez w.bezwzględnej).
2. Na osi zaznaczasz sobie miejsca zerowe tych równań czyli w tym przypadku \(\displaystyle{ -1}\) oraz \(\displaystyle{ -2}\)
3. Utworzyły Ci się tym samym 3 przedziały (korzystając z def. w.bezwzględnej zawsze masz 4 i jeden sprzeczny, czyli 3, dlatego ten sposób jest prostszy niż korzystanie z def.). Przedziały te to: \(\displaystyle{ (-\infty;-2) \cup \cup (-1;\infty).}\)
4. Sprawdasz teraz dla w jaki przedziałach dane równanie są dodatnie a w jakich ujemne (tzw. siatka znaków) i zaznaczasz plusami i minusami.
5. Patrzysz teraz PRZEDZIAŁAMI:

\(\displaystyle{ 1.}\) w przedziale \(\displaystyle{ (-\infty;-2)}\)(przedział jest jednocześnie założeniem) oba równania są ujemne, a więc masz: \(\displaystyle{ -x-1-2x-4 = -3x-5}\)

\(\displaystyle{ -3x-5 9}\)

\(\displaystyle{ x \frac{14}{3}}\) sprzeczne (patrz: założenie)

\(\displaystyle{ 2.}\) w przedziale \(\displaystyle{ }\) równanie \(\displaystyle{ x+1}\) jest ujemne, natomiast równanie \(\displaystyle{ 2x+4}\) dodatnie, a więc masz: \(\displaystyle{ -x-1+2x+4 = x+3}\)

\(\displaystyle{ x+3 9}\)

\(\displaystyle{ x 6}\)
teraz część wspólna \(\displaystyle{ x 6}\) i \(\displaystyle{ }\), czyli po prostu \(\displaystyle{ }\)

\(\displaystyle{ 3.}\)
w przedziale \(\displaystyle{ (-1;\infty)}\) oba równania są dodatnie więc \(\displaystyle{ x+1+2x+4=3x+5}\)

\(\displaystyle{ 3x+5 \le 9}\)
\(\displaystyle{ x \le \frac{4}{3}}\)

część wspólna z założeniem to : \(\displaystyle{ (-1; \frac{4}{3}>}\)

ODPOWIEDŹ: \(\displaystyle{ }\)

arekklimkiewicz pisze: 2. Na osi zaznaczasz sobie miejsca zerowe tych równań czyli w tym przypadku \(\displaystyle{ -1}\) oraz \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\)???????????

Dobrze, myślę, że teraz już zrozumiałem każdy etap. Dziękuję za pomoc.

Pozdrawiam.

edit: a jeżeli mam między modułami różnicę, a nie sumę? To postępuję analogicznie?

Deith pisze:edit: a jeżeli mam między modułami różnicę, a nie sumę? To postępuję analogicznie?

tak

nmn pisze:

arekklimkiewicz pisze: 2. Na osi zaznaczasz sobie miejsca zerowe tych równań czyli w tym przypadku \(\displaystyle{ -1}\) oraz \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\)???????????

juz poprawiłem