Ideał główny?
: 2 sty 2009, o 22:40
Sprawdź, czy ideał \(\displaystyle{ }\)jest ideałem głównym w pierścieniu \(\displaystyle{ \mathbb{Q}[X]}\)
Jakieś wskazówki?
Jakieś wskazówki?
Jedna uwaga ogólna:
dla dowolnego ciała \(\displaystyle{ K}\) pierścień \(\displaystyle{ K[X]}\) jest dziedziną ideałów głównych, bo jest dziedziną euklidesową (jako odpowiednia funkcję wystarczy przyjąć funkcję przypisującą wielomianowi jego stopień).
Ale w tym wypadku sprawa jest jeszcze prostsza, bo \(\displaystyle{ 2}\) jest odwracalny w \(\displaystyle{ \mathbb{Q}[X]}\), a więc \(\displaystyle{ (X, 2) = \mathbb{Q}[X] = (1)}\) i widzimy, że ten ideał jest główny.