Matematyka.pl

Jak udowodnić ,że w trójkącie prostokątnym suma długości przyprostokątnych równa się sumie długości średnic koła wpisanego w trójkąt i koła opisanego na tym trójkącie?

a,b - przyprostokątne c-przeciwp. R,r-wiadomo
Skoro trójkąt jest prostokątny, to oczywiście c (przeciwprostokątna)=2R.
Wpisz w trójkąt okrąg i poprowadź promienie r prostopadłe do przyprostokątnych.
Punkty styku promieni r (prostopadłych do przyprostokątnych) z przyprostokątnymi wyznaczają odcinki o długościach r i b-r (dzielą tak przyprostokątną b) i odicinki o długościach a-r i r (dzielą tak przyprostokątną a). Jak wykonasz rysunek, z łatwością to zauważysz(udowodnisz).
Wiemy że odcinki styczne do koła wychodzące z jednego punktu mają takie same długości. Teraz widać, że a-r ma taką samą długość jak część przeciwprostokątnej), a b-r ma taką samą długość jak druga część przeciwprostokątnej.
czyli a-r+b-r=c=2R dodajemy stronami 2r
a+b=2R+2r
Naprawdę, wykonaj rysunek, a wszystko zobaczysz, opisałbym to krócej, ale nie chciało mi się robić rysunku

Niech \(\displaystyle{ a,b}\) - przyprostokątne, \(\displaystyle{ c}\) - przeciwprostokątna.

Niech \(\displaystyle{ a=x+y}\), \(\displaystyle{ b=y+z}\), \(\displaystyle{ c=z+x}\).

\(\displaystyle{ 2r=2x=a+b-c}\),
\(\displaystyle{ 2R=c}\), dodając to stronami dostajemy:

\(\displaystyle{ 2(r+R)=a+b}\), co kończy dowód.


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki