Matematyka.pl

Który z punktów leżących wewnątrz trójkąta ma tą własność, że suma jego odległości od boków jest najmniejsza?

To zadanie raczej nie ma jednoznacznej odpowiedzi, bo w trójkącie równobocznym suma odległości od boków dla każdego punktu wewnętrznego jest taka sama.

To chyba środek okręgu wpisanego w trójkąt.

Właśnie też myślałem nad środkiem okręgu wpisanego. Ale na przykład punktem którego suma odległości od wierzchołków jest najmniejsza jest pierwszy punkt Fermata (), a nie jak mogłoby się wydawać środek okręgu opisanego. Może i tutaj jest coś podobnego?

To sprytne co zrobił Fermat. Nie wiem czy w podanym problemie jest coś podobnego. Moja wiedza tak daleko nie sięga.

Moim zdaniem to będzie wierzchołek naprzeciwko najdłuższego boku w trójkącie.

Nie będzie to środek okręgu wpisanego. Rozważmy na przykład taki trójkąt równoramienny, którego kąty przy podstawie są prawie zupełnie proste. Suma odległości środka od boków będzie równa \(\displaystyle{ 3r}\). Promień okręgu wpisanego będzie minimalnie mniejszy niż połowa podstawy, więc taka suma dla dowolnego punktu leżącego na postawie tego trójkąta jest minimalnie różna od \(\displaystyle{ 2r}\). Rysunek przedstawia podstawę takiego trójkąta i fragmenty ramion (a kąty przy podstawie wcale nie są na nim proste, to niedokładność monitorów które nie pokażą, że linia się odchyla od pionu o 0,001 pixela ). Widać na nim, ze suma odległości od boków dowolnego punktu leżącego poniżej środka okręgu będzie mniejsza.

To się zgadza. Ciekaw jestem jak wyznaczyć taki punkt.

Jeżeli w danym trójkącie ABC ten punkt to D, wtedy kąty pomiędzy DC i DB, DB i DA, DA i DC wynoszą \(\displaystyle{ 120^{\circ}}\).
Dowód tego jest naprawdę łatwy, ale geometryczny i trudno mi go tutaj przedstawić. Podejmę się tej próby, choć pewnie to nieudolnie wyjdzie...
Narysujmy sobie trójkąt ABC i tym punktem D. Weźmy trójkąt ADC i przesuńmy go o 60 stopni. Punktem zaczepienia jest wierzchołek A i przesuwamy ten trójkąt odrywając go od podstawy AD. Liczę, że to w miarę opisałem:P. I teraz najważniejsza część. Widzimy ( kto widzi, ten widzi:]) że mamy łamaną składającą się boków trzech trójkątów. Jednym z tych boków należy do tego przesuniętego trójkąta AD'C'. Bokiem tym jest C'D'. Po przesunięciu został utworzony trójkąt równoboczny o bokach równych AD. Dwa boki tego trójkąta to własnie bok AD' z trójkąta AD'C' oraz bok AD z trójkąta AD. I bok który ma nasza łamana to bok DD'. Trzecią częścią łamanej jest bok BD trójkąta ABD. Łamana ta będzie najkrótsza wtedy, gdy punkty B, D, D' i B' będą leżały na jeden prostej, a zachodzić to będzie gdy kąt BDA będzie miał 120 stopni. W ten sam sposób dochodzimy do tego, że kąt BDC i CDA będą miały po 120 stopni, a wtedy punkt D będzie właśnie tym punktem, że suma jego odległości od boków będzie najmniejsza.

AAA...tragicznie:). Nie mam daru opisywania:p Jeśli ktoś potrafi to opisać prośniej i ładniej to proszę, niech to zrobi:)

Nie specjalnie chce mi się ten "dowód" czytać, ale jeśli teza jest fałszywa, to pewnie sposób wykazania jej także.

Suma odległości od WIERZCHOŁKÓW trójkąta ostrokątnego punktu, który wskazał Tristan jest najmniejsza. Jest to tzw. punkt Toricellego.


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

To wiemy, natomiast...

Tristan pisze:wtedy punkt D będzie właśnie tym punktem, że suma jego odległości od boków będzie najmniejsza

A to już prawdą nie jest.

Tak, oczywiście się zagapiłem... Wszędzie chodziło mi nie o boki, ale o wierzchołki boków. Przepraszam, za niedopatrzenie:)

Porównując pola pewnych dziwnych trójkątów doszedłem do wniosku, że punktem o najmniejszej sumie odległości dla przeciętnego trójkąta jest wierzchołek znajdujący się naprzeciwko najdłuższego boku, dla równobocznego każdy punkt ma taką samą sumę, a dla równoramiennych bywa różnie.