Najmniejsza suma odległości punktu od boków trójkąta

[Sulik]

Który z punktów leżących wewnątrz trójkąta ma tą własność, że suma jego odległości od boków jest najmniejsza?

[juzef]

To zadanie raczej nie ma jednoznacznej odpowiedzi, bo w trójkącie równobocznym suma odległości od boków dla każdego punktu wewnętrznego jest taka sama.

[ixi]

To chyba środek okręgu wpisanego w trójkąt.

[Sulik]

Właśnie też myślałem nad środkiem okręgu wpisanego. Ale na przykład punktem którego suma odległości od wierzchołków jest najmniejsza jest pierwszy punkt Fermata (), a nie jak mogłoby się wydawać środek okręgu opisanego. Może i tutaj jest coś podobnego?

[ixi]

To sprytne co zrobił Fermat. Nie wiem czy w podanym problemie jest coś podobnego. Moja wiedza tak daleko nie sięga.

[juzef]

Moim zdaniem to będzie wierzchołek naprzeciwko najdłuższego boku w trójkącie.

[Sulik]

Nie będzie to środek okręgu wpisanego. Rozważmy na przykład taki trójkąt równoramienny, którego kąty przy podstawie są prawie zupełnie proste. Suma odległości środka od boków będzie równa \(\displaystyle{ 3r}\). Promień okręgu wpisanego będzie minimalnie mniejszy niż połowa podstawy, więc taka suma dla dowolnego punktu leżącego na postawie tego trójkąta jest minimalnie różna od \(\displaystyle{ 2r}\). Rysunek przedstawia podstawę takiego trójkąta i fragmenty ramion (a kąty przy podstawie wcale nie są na nim proste, to niedokładność monitorów które nie pokażą, że linia się odchyla od pionu o 0,001 pixela ). Widać na nim, ze suma odległości od boków dowolnego punktu leżącego poniżej środka okręgu będzie mniejsza.

AU

trojkat.gif (1.46 KiB) Przejrzano 749 razy

[ixi]

To się zgadza. Ciekaw jestem jak wyznaczyć taki punkt.

[Tristan]

Jeżeli w danym trójkącie ABC ten punkt to D, wtedy kąty pomiędzy DC i DB, DB i DA, DA i DC wynoszą \(\displaystyle{ 120^{\circ}}\).
Dowód tego jest naprawdę łatwy, ale geometryczny i trudno mi go tutaj przedstawić. Podejmę się tej próby, choć pewnie to nieudolnie wyjdzie...
Narysujmy sobie trójkąt ABC i tym punktem D. Weźmy trójkąt ADC i przesuńmy go o 60 stopni. Punktem zaczepienia jest wierzchołek A i przesuwamy ten trójkąt odrywając go od podstawy AD. Liczę, że to w miarę opisałem:P. I teraz najważniejsza część. Widzimy ( kto widzi, ten widzi:]) że mamy łamaną składającą się boków trzech trójkątów. Jednym z tych boków należy do tego przesuniętego trójkąta AD'C'. Bokiem tym jest C'D'. Po przesunięciu został utworzony trójkąt równoboczny o bokach równych AD. Dwa boki tego trójkąta to własnie bok AD' z trójkąta AD'C' oraz bok AD z trójkąta AD. I bok który ma nasza łamana to bok DD'. Trzecią częścią łamanej jest bok BD trójkąta ABD. Łamana ta będzie najkrótsza wtedy, gdy punkty B, D, D' i B' będą leżały na jeden prostej, a zachodzić to będzie gdy kąt BDA będzie miał 120 stopni. W ten sam sposób dochodzimy do tego, że kąt BDC i CDA będą miały po 120 stopni, a wtedy punkt D będzie właśnie tym punktem, że suma jego odległości od boków będzie najmniejsza.

AAA...tragicznie:). Nie mam daru opisywania:p Jeśli ktoś potrafi to opisać prośniej i ładniej to proszę, niech to zrobi:)

[juzef]

Nie specjalnie chce mi się ten "dowód" czytać, ale jeśli teza jest fałszywa, to pewnie sposób wykazania jej także.

[Tomasz Rużycki]

Suma odległości od WIERZCHOŁKÓW trójkąta ostrokątnego punktu, który wskazał Tristan jest najmniejsza. Jest to tzw. punkt Toricellego.


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

[juzef]

To wiemy, natomiast...

wtedy punkt D będzie właśnie tym punktem, że suma jego odległości od boków będzie najmniejsza

A to już prawdą nie jest.

[Tristan]

Tak, oczywiście się zagapiłem... Wszędzie chodziło mi nie o boki, ale o wierzchołki boków. Przepraszam, za niedopatrzenie:)

[juzef]

Porównując pola pewnych dziwnych trójkątów doszedłem do wniosku, że punktem o najmniejszej sumie odległości dla przeciętnego trójkąta jest wierzchołek znajdujący się naprzeciwko najdłuższego boku, dla równobocznego każdy punkt ma taką samą sumę, a dla równoramiennych bywa różnie.