Matematyka.pl

Czy w każdym trójkącie zachodzi \(\displaystyle{ R\geq2r}\)? Zna ktoś może jakiś króciutki dowodzik? Z góry dzięki.

to ostatnie pytanie jest troche nieprecyzyjne. bo ja znam tego bardzo krotki dowod, ale on korzysta z faktu, ktorego dowod juz taki krotki nie jest.

\(\displaystyle{ s=pr}\)
\(\displaystyle{ s=\frac{abc}{4R}}\)

\(\displaystyle{ r=\frac{2s}{a+b+c}}\)
\(\displaystyle{ R=\frac{abc}{4s}}\)

Nierówność przybiera więc postać:

\(\displaystyle{ \frac{abc}{4s}\geq \frac{4s}{a+b+c}}\)
\(\displaystyle{ abc(a+b+c)\geq 16s^2}\).

Ze wzoru Herona mamy:

\(\displaystyle{ abc(a+b+c)\geq (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)}\),
\(\displaystyle{ abc\geq (a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)}\).

Z twierdzenia o stycznej wiemy, że możemy dokonac podstawienia:

\(\displaystyle{ a=x+y, b=y+z, c=z+x}\), wtedy nierówność przybiera postać:

\(\displaystyle{ (x+y)(y+z)(z+x)\geq 8xyz}\).

Z AM-GM mamy:

\(\displaystyle{ x+y\geq 2\sqrt{xy}}\),
\(\displaystyle{ y+z\geq 2\sqrt{yz}}\),
\(\displaystyle{ z+x\geq 2\sqrt{zx}}\).

Mnożąc te trzy nierówności stronami, dostajemy nierówność, którą mieliśmy wykazać, co kończy dowód.

Równość w AM-GM zachodzi dokładnie wtedy, gdy składniki są równe, więc w naszym wypadku \(\displaystyle{ x=y=z}\), więc \(\displaystyle{ a=b=c}\), więc gdy rozważany trójkąt jest równoboczny.


Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

Tomasz Rużycki pisze:Z twierdzenia o stycznej wiemy, że możemy dokonac podstawienia:

\(\displaystyle{ a=x+y, b=y+z, c=z+x}\)

a ja dodam tyle, ze jak komus sie nie bedzie kiedys tego calego powyzej chcialo pisac, to to podstawienie sie nazywa podstawieniem Raviego. nawet takiej durnej rzeczy dali patrona

Dodam jeszcze, że można o tym poczytać w "Powrocie do Krainy Nierówności" Lva Kourliandtchika w rozdziale piątym. Ogólnie wiele ciekawych rzeczy można tam znaleźć:]

g-> to tak jak dowod zasadniczego twierdzenia algebry z tw. Liouville'a

Mój pomysł jest taki: okrąg wpisany jest najmniejszym z okręgów, które mają punkt wspólny z każdym z boków trójkąta. Innym takim okręgiem jest okrąg dziewięciu punktów, którego promień jak wiadomo ma długość \(\displaystyle{ \frac{1}{2}R}\), stąd wynika że \(\displaystyle{ r\leq\frac{1}{2}R}\), czyli \(\displaystyle{ R\geq2r}\). Co o tym sądzicie?

W czworościan można wpisać sferę, opisać na nim też.
- są jakieś symetralne ścian?
- dwusieczne kątów bryłowych?
Jakie tu mamy zależności?
Jest tam odpowiednik tego 9-cio punktowego koła?

g pisze:bo ja znam tego bardzo krotki dowod, ale on korzysta z faktu, ktorego dowod juz taki krotki nie jest.

a dowod: Euler Triangle Formula ?

w sensie \(\displaystyle{ d^2=R(R-2r)}\)

ktos posiada ewentualnie powie jak wyprowadzic ?;]