Zależność między promieniem opisanym i wpisanym

[Sulik]

Czy w każdym trójkącie zachodzi \(\displaystyle{ R\geq2r}\)? Zna ktoś może jakiś króciutki dowodzik? Z góry dzięki.

[g]

to ostatnie pytanie jest troche nieprecyzyjne. bo ja znam tego bardzo krotki dowod, ale on korzysta z faktu, ktorego dowod juz taki krotki nie jest.

[Tomasz Rużycki]

\(\displaystyle{ s=pr}\)
\(\displaystyle{ s=\frac{abc}{4R}}\)

\(\displaystyle{ r=\frac{2s}{a+b+c}}\)
\(\displaystyle{ R=\frac{abc}{4s}}\)

Nierówność przybiera więc postać:

\(\displaystyle{ \frac{abc}{4s}\geq \frac{4s}{a+b+c}}\)
\(\displaystyle{ abc(a+b+c)\geq 16s^2}\).

Ze wzoru Herona mamy:

\(\displaystyle{ abc(a+b+c)\geq (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)}\),
\(\displaystyle{ abc\geq (a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)}\).

Z twierdzenia o stycznej wiemy, że możemy dokonac podstawienia:

\(\displaystyle{ a=x+y, b=y+z, c=z+x}\), wtedy nierówność przybiera postać:

\(\displaystyle{ (x+y)(y+z)(z+x)\geq 8xyz}\).

Z AM-GM mamy:

\(\displaystyle{ x+y\geq 2\sqrt{xy}}\),
\(\displaystyle{ y+z\geq 2\sqrt{yz}}\),
\(\displaystyle{ z+x\geq 2\sqrt{zx}}\).

Mnożąc te trzy nierówności stronami, dostajemy nierówność, którą mieliśmy wykazać, co kończy dowód.

Równość w AM-GM zachodzi dokładnie wtedy, gdy składniki są równe, więc w naszym wypadku \(\displaystyle{ x=y=z}\), więc \(\displaystyle{ a=b=c}\), więc gdy rozważany trójkąt jest równoboczny.


Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

[g]

Z twierdzenia o stycznej wiemy, że możemy dokonac podstawienia:

\(\displaystyle{ a=x+y, b=y+z, c=z+x}\)

a ja dodam tyle, ze jak komus sie nie bedzie kiedys tego calego powyzej chcialo pisac, to to podstawienie sie nazywa podstawieniem Raviego. nawet takiej durnej rzeczy dali patrona

[Tristan]

Dodam jeszcze, że można o tym poczytać w "Powrocie do Krainy Nierówności" Lva Kourliandtchika w rozdziale piątym. Ogólnie wiele ciekawych rzeczy można tam znaleźć:]

[liu]

g-> to tak jak dowod zasadniczego twierdzenia algebry z tw. Liouville'a

[Sulik]

Mój pomysł jest taki: okrąg wpisany jest najmniejszym z okręgów, które mają punkt wspólny z każdym z boków trójkąta. Innym takim okręgiem jest okrąg dziewięciu punktów, którego promień jak wiadomo ma długość \(\displaystyle{ \frac{1}{2}R}\), stąd wynika że \(\displaystyle{ r\leq\frac{1}{2}R}\), czyli \(\displaystyle{ R\geq2r}\). Co o tym sądzicie?

[Fibik]

W czworościan można wpisać sferę, opisać na nim też.
- są jakieś symetralne ścian?
- dwusieczne kątów bryłowych?
Jakie tu mamy zależności?
Jest tam odpowiednik tego 9-cio punktowego koła?

[ymar]

bo ja znam tego bardzo krotki dowod, ale on korzysta z faktu, ktorego dowod juz taki krotki nie jest.

[brolly]

a dowod: Euler Triangle Formula ?

w sensie \(\displaystyle{ d^2=R(R-2r)}\)

ktos posiada ewentualnie powie jak wyprowadzic ?;]

[ymar]