Wysokość trójkąta, a promień okręgu wpisanego

[Rothman]

Postawiłem następująca hipotezę:
W każdym trójkącie istnieje taka wysokość h, że h >= 3r, gdzie r to promień okręgu wpisanego w ten trójkąt. Czy jest to prawdą, jeśli tak, to jak to udowodnić?

[Tomasz Rużycki]

Niech \(\displaystyle{ a,b,c}\) - boki trójkąta oraz \(\displaystyle{ a=\min\{a,b,c\}}\).

\(\displaystyle{ h_a=\frac{2s}{a}\geq \frac{6s}{a+b+c}=3r}\), czyli równoważnie

\(\displaystyle{ a+b+c\geq 3a}\), co zachodzi na podstawie założenia.


Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki