Matematyka.pl

Proszę o sprawdzenie tego co poniżej i ewentualne naprowadzenie mnie na dobrą ścieżkę .

Dla jakich wartości parametru m równanie:
\(\displaystyle{ |x^{2}-9|+|x^{2}-16|=m}\) ma dokładnie dwa różne pierwiastki.

Założenia:
\(\displaystyle{ \Delta > 0}\)

Rozpatruję następujące przypadki:

1.
\(\displaystyle{ x \in (-\infty ; -4)}\)
\(\displaystyle{ x^{2}-9+x^{2}-16=m}\)
\(\displaystyle{ 2x^{2}-25-m=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=4m+104}\)
\(\displaystyle{ 4m>-104/:4}\)
\(\displaystyle{ m>-26}\)

2.
\(\displaystyle{ x -26}\)

3.
\(\displaystyle{ x -26}\)

Teraz wyznaczam część wspólną tych 5ciu przypadków i ostatecznie mam:
\(\displaystyle{ m=7}\)

A dlaczego bierzesz część wspólną? Algebraicznie rozwiązując mamy dużo warunków i przypadków, proponuję metodę graficzną, czyli rysujemy wykres \(\displaystyle{ |x^2-9|+|x^2-16|}\) i patrzymy ile jest punktów wspólnych z prostą y=m dla danego m.

Ok dzięki za radę Próbuję robić to graficznie i mam na razie coś takiego (mam wielkie wątpliwości co do poprawności tego rozwiązania)
\(\displaystyle{ |x^{2}-9|+|x^{2}-16| qslant 0}\)
\(\displaystyle{ x^{2}-9+x^{2}-16 qslant 0}\)
\(\displaystyle{ 2x^{2}-25 qslant 0}\)
\(\displaystyle{ x^{2}-12,5 qslant 0}\) dla \(\displaystyle{ x (-\infty;-3) suma (3;+\infty)}\)

i gdy \(\displaystyle{ |x^{2}-9|+|x^{2}-16|< 0}\)
\(\displaystyle{ -x^{2}+12,5 (-3;3)}\)

Jak to narysuję wychodzi mi tak jakby "W" i, że nie ma takiego m (byłoby gdyby \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ -3}\) należały do mojej dziedziny. Mógłbyś na to rzucić okiem?;)

Hmm no raczej w ten sposób:
\(\displaystyle{ f(x)=|x^2-9|+|x^2-16|\xin (-infty;-4)Rightarrow |x^2-9|+|x^2-16|=x^2-9+x^2-16=2x^2-25\xin [-4;-3)Rightarrow |x^2-9|+|x^2-16|=x^2-9+16-x^2=7\xin [-3;3)Rightarrow |x^2-9|+|x^2-16|=9-x^2+16-x^2=-2x^2+25\xin[3;4)Rightarrow |x^2-9|+|x^2-16|=x^2-9+16-x^2=7\xin[4;infty)Rightarrow |x^2-9|+|x^2-16|=x^2-9+x^2-16=2x^2-25}\)
a zatem
\(\displaystyle{ f(x)=egin{cases}2x^2-25,; xin(-infty;-4)cup[4;infty)\7,; xin [-4;-3)cup [3;4)\-2x^2+25,; xin [-3;3)end{cases}}\)
i rysujesz odcinkowo.

Wielkie dzięki za rozpisanie tych przypadków. Teraz patrząc na Twoją dziedzinę widzę, jaki wielki błąd popełniłem pisząc to powyżej i nie zwracając uwagi na przedziały w mym pierwszym poście. Jeszcze raz wielkie dzięki, pozdrawiam!