Matematyka.pl

I seria

1. Na niektórych polach szachownicy rozmiaru m x n ustawiono wieże. Wiadomo, że dowolna wieża znajduje się w polu rażenia co najwyżej dwóch innych wież.
Wyznaczyć w zależności od \(\displaystyle{ m,n \geq 2}\), największą liczbę wież na szachownicy, dla której taka sytuacja jest możliwa.

2. Dana jest liczba całkowita \(\displaystyle{ n\geq 2}\). Niech \(\displaystyle{ r_{1}, r_{2}, r_{3}, ... , r_{n-1}}\) będą odpowiednio resztami z dzielenia liczb \(\displaystyle{ 1, 1+2, 1+2+3, ... , 1+2+... +(n-1)}\) przez n. Znaleźć wszystkie takie wartości n, że ciąg \(\displaystyle{ ( r_{1}, r_{2}, r_{3}, ... , r_{n-1} )}\) jest permutacją ciągu \(\displaystyle{ (1,2,3, ... , n-1)}\).

3. Okrąg wpisany w trójkąt ABC jest styczny do boków BC, CA, AB odpowiednio w punktach D, E, F. Punkty M, N, J są odpowiednio środkami okręgów wpisanych w trójkąty AEF, BDF, DEF. Dowieść, że punkty F i J są symetryczne względem prostej MN.

4. Udowodnić, że dla dowolnych nieujemnych liczb rzeczywistych a, b, c prawdziwa jest nierówność \(\displaystyle{ 4( \sqrt{ a^3b^3} + \sqrt{ b^3c^3} + \sqrt{c^3a^3} ) \leqslant 4c^3+(a+b)^3}\).



II seria

5. Dla każdej liczby całkowitej \(\displaystyle{ n \geq 1}\) wyznaczyć największą możliwą liczbę różnych podzbiorów zbioru {1,2,3, ... , n} o następującej własności: Dowolne dwa z tych podzbiorów albo są rozłączne, albo jeden z nich zawiera się w drugim.

6. Dany jest trójkąt ABC, w którym AB=AC. Na półprostych \(\displaystyle{ AB^{\rightarrow}}\) i \(\displaystyle{ AC^{\rightarrow}}\) obrano odpowiedni takie punkty K i L leżące poza bokami trójkąta, że \(\displaystyle{ 4 \cdot BK \cdot CL=BC^{2}}\).
Punkt M jest środkiem boku BC. Proste KM i LM przecinają po raz drugi okrąg opisany na trójkącie AKL odpowiednio w punktach P i Q. Wykaż, że proste PQ i BC są równoległe.

7. Ciąg liczb całkowitych \(\displaystyle{ f_{0}, f_{1}, f_{2}, ...}\) jest określony przez warunki: \(\displaystyle{ f_{0}=0, f_{1}=1, f_{n}=f_{n-1}+f_{n-2}}\) dla \(\displaystyle{ n=2,3,4,...}\)
Znaleźć wszystkie wielomiany W o współczynnikach całkowitych, mające następującą własność: Dla każdego \(\displaystyle{ n=0,1,2, ...}\) istnieje taka liczba całkowita k, że \(\displaystyle{ W(k)=f_{n}}\).

8. Przekątne podstawy ABCD ostrosłupa ABCDS przecinają się pod kątem prostym w punkcie H, będącym spodkiem wysokości ostrosłupa. Niech K, L, M, N będą rzutami prostokątnymi punktu H odpowiednio na ściany ABS, BCS, CDS, DAS. Dowieść, że proste KL, MN i AC są równoległe lub przecinają się w jednym punkcie.



III seria

9. Dana jest tablica 2008x2008. Dwaj gracze na przemian wykonują ruchy, z których każdy polega na wybraniu białego albo czarnego pionka i postawieniu go na wybranym wolnym polu. Wygrywa ten, którego ruch doprowadził do powstania ciągu 5 kolejnych pionków tego samego koloru w linii pionowej, poziomej lub ukośnej.
Zbadać, czy istnieje strategia dla gracza rozpoczynającego grę zapewniająca mu zwycięstwo.

10. Punkt P jest środkiem krótszego łuku BC okręgu opisanego na trójkącie ABC, którym \(\displaystyle{ \sphericalangle BAC=60^{\circ}}\). Punkt M jest środkiem odcinka łączącego środki dwóch okręgów dopisanych do danego trójkąta stycznych odpowiednio do boków AB i AC. Wykazać, że \(\displaystyle{ PM=2 \cdot BP}\).

11. Udowodnić, że dla dowolnych liczb całkowitych \(\displaystyle{ k>m \geqslant 1}\) spełniona jest nierówność
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt[k]{k!} }{ \sqrt[m]{m!} } < \frac{k}{m}}\)

12. Dana jest liczba pierwsza p. Po lewej stronie tablicy napisano liczby 1, 2, 3, ... , p-1, zaś po prawej stronie liczbę 0. Wykonujemy ciąg p-1 ruchów, z których każdy przebiega następująco: Wybieramy jedną z liczb napisanych po lewej stronie tablicy, dodajemy ją do wszystkich pozostałych liczb na tablicy, po czym wymazujemy wybraną liczbę. Rozstrzygnąć, dla jakich wartości p można w kolejnych ruchach wybierać liczby w takich sposób, by liczba pozostała na tablicy po wykonaniu wszystkich ruchów była podzielna przez p.

Terminarz zawodów LX Olimpiady Matematycznej
Zawody I stopnia
I seria 4 września — 3 października 2008 r.
II seria 4 października — 3 listopada 2008 r.
III seria 4 listopada — 3 grudnia 2008 r.

Zawody II stopnia: 13 i 14 lutego 2009 r.

Zawody III stopnia: 22 i 13 kwietnia 2009 r.