Rozkład dwumianowy

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z probabilistyki oraz statystyki matematycznej.
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Rozkład dwumianowy

Post autor: Emiel Regis » 12 sie 2008, o 20:22

Rozkład dwumianowy
\(X \sim \mathcal{B}(n, p)\) \(n \in \mathbb{N}\) \(p \in [0,1], \ \ q = 1-p\)
\(\hline\)
I Podstawowe informacje 1. Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa \(P(X=k) = {n \choose k} p^k q^{n-k}, \ \ \ k \in \{0, 1, \ldots, n\}\) 2. Dystrybuanta \(F(x) = \sum_{k \leqslant x} {n \choose k} p^k q^{n-k}, \ \ \ k \in \{0, 1, \ldots, n\}\) 3. Wartość oczekiwana \(EX=np\)
Ukryta treść:    
4. Wariancja \(Var(X)=npq\)
Ukryta treść:    
5. Funkcja charakterystyczna \(\varphi(t)= \left (q+pe^{it} \right)^n\)
Ukryta treść:    
\(\hline\)
II Uwagi 1. Odpowiedni ciąg rozkładów dwumianowych zbiega do rozkładu Poissona Więcej można przeczytać tutaj: Rozkład Poissona 2. Wielu autorów (szczególnie polskich) traktuje określenia rozkładów - dwumianowy oraz Bernoulliego - jako synonimy, natomiast jest to prawdopodobnie błędem, gdyż oryginalnie rozkład Bernoulliego to był rozkład zero-jedynkowy (próba Bernoulliego), natomiast rozkład dwumianowy opisuje ciąg prób Bernoulliego. Więcej można przeczytać np. na stronach Wolfram czy też PlanetMath: Wolfram PlanetMath 3. Zgodnie z powyższą uwagą widzimy więc, że rozkład Bernoulliego jest to szczególny przypadek rozkładu dwumianowego. Dodatkowo suma niezależnych zmiennych losowych o rozkładach Bernoulliego ma rozkład dwumianowy - z tego faktu będę korzystał przy obliczaniu momentów zmiennej o rozkładzie dwumianowym, wiele to upraszcza rachunki. Formalnie możemy powyższy fakt zapisać następująco: \(Z: X_1, \ldots, X_n \sim \mathcal{B}(1,p) \ \ \ \wedge \ \ \ X_1, \ldots, X_n - \hbox{niezależne zmienne losowe}\) \(T: X = \sum_{i=1}^n X_i \sim \mathcal{B}(n,p)\)
\(\hline\)

ODPOWIEDZ