Matematyka.pl

przeksztalc rownanie wprowadzajac nowe zmienne

\(\displaystyle{ \frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}}-4*\frac{\partial^{2}z}{\partial x y }+3*\frac{\partial^{2}z}{\partial y^{2}}=0}\)

\(\displaystyle{ p=3*x + y}\)
\(\displaystyle{ q=x + y}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial p}3+\frac{\partial z}{\partial q}}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial^2z}{\partial x^2}=(\frac{\partial^2z}{\partial p^2}3+\frac{\partial^2z}{\partial p\partial q})3+\frac{\partial^2z}{\partial q^2}+\frac{\partial^2z}{\partial q\partial p}3=9\frac{\partial^2z}{\partial p^2}+6\frac{\partial^2z}{\partial p\partial q}+\frac{\partial^2z}{\partial q^2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial p}+\frac{\partial z}{\partial q}}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial^2z}{\partial y^2}=\frac{\partial^2z}{\partial p^2}+\frac{\partial^2z}{\partial p\partial q}+\frac{\partial^2z}{\partial q^2}+\frac{\partial^2z}{\partial q\partial p}=\frac{\partial^2z}{\partial p^2}+2\frac{\partial^2z}{\partial p\partial q}+\frac{\partial^2z}{\partial q^2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2z}{\partial p^2}3+\frac{\partial^2z}{\partial p\partial q}+\frac{\partial^2z}{\partial q^2}+3\frac{\partial^2z}{\partial q\partial p}=3\frac{\partial^2z}{\partial p^2}+4\frac{\partial^2z}{\partial p\partial q}+\frac{\partial^2z}{\partial q^2}}\)

Zatem podstawiając do równania i po uproszczeniu, otrzymamy:

\(\displaystyle{ \frac{\partial^2z}{\partial p\partial q}=0}\)

Nie rozumiem skąd to się wzięło:

\(\displaystyle{ \frac{\partial^2z}{\partial x^2}=(\frac{\partial^2z}{\partial p^2}3+\frac{\partial^2z}{\partial p\partial q})3+\frac{\partial^2z}{\partial q^2}+\frac{\partial^2z}{\partial q\partial p}3=9\frac{\partial^2z}{\partial p^2}+6\frac{\partial^2z}{\partial p\partial q}+\frac{\partial^2z}{\partial q^2}}\)

Ja doszedłem do czegoś takiego i nie wiem co dalej:

\(\displaystyle{ \frac{\partial^2z}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}(3\frac{\partial z}{\partial p}+ \frac{\partial z}{\partial q})=3\frac{\partial^2 z}{\partial x p}+ \frac{\partial^2 z}{\partial x q}}\)

Twój zapis

\(\displaystyle{ \frac{\partial^2z}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}(3\frac{\partial z}{\partial p}+ \frac{\partial z}{\partial q})=3\frac{\partial^2 z}{\partial x p}+ \frac{\partial^2 z}{\partial x q}}\)[/quote]

jest błędny. Nie wymnażamy przez siebie wyrażeń \(\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial x}(3\frac{\partial z}{\partial p}+ \frac{\partial z}{\partial q})}\) ja normalne działania na liczbach! Oznaczenie te mówi nam tylko, że wyrażenie w nawiasie różniczkujemy poraz kolejny po iksie. Należy pamiętać, że jest to funkcja złożona i liczyć pochodne w nawiasie jak pochodna funkcji złożonej, tj. tak jak ja zapisałem.