przeksztalc rownanie wprowadzajac nowe zmienne
\(\displaystyle{ \frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}}-4*\frac{\partial^{2}z}{\partial x y }+3*\frac{\partial^{2}z}{\partial y^{2}}=0}\)
\(\displaystyle{ p=3*x + y}\)
\(\displaystyle{ q=x + y}\)
rownanie z nowymi zmiennymi
-
krzysiek_bienio
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 27 kwie 2008, o 11:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lubliniec
- Podziękował: 2 razy
-
bedbet
- Użytkownik
- Posty: 2530
- Rejestracja: 15 mar 2008, o 22:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 248 razy
rownanie z nowymi zmiennymi
\(\displaystyle{ \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial p}3+\frac{\partial z}{\partial q}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial^2z}{\partial x^2}=(\frac{\partial^2z}{\partial p^2}3+\frac{\partial^2z}{\partial p\partial q})3+\frac{\partial^2z}{\partial q^2}+\frac{\partial^2z}{\partial q\partial p}3=9\frac{\partial^2z}{\partial p^2}+6\frac{\partial^2z}{\partial p\partial q}+\frac{\partial^2z}{\partial q^2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial p}+\frac{\partial z}{\partial q}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial^2z}{\partial y^2}=\frac{\partial^2z}{\partial p^2}+\frac{\partial^2z}{\partial p\partial q}+\frac{\partial^2z}{\partial q^2}+\frac{\partial^2z}{\partial q\partial p}=\frac{\partial^2z}{\partial p^2}+2\frac{\partial^2z}{\partial p\partial q}+\frac{\partial^2z}{\partial q^2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2z}{\partial p^2}3+\frac{\partial^2z}{\partial p\partial q}+\frac{\partial^2z}{\partial q^2}+3\frac{\partial^2z}{\partial q\partial p}=3\frac{\partial^2z}{\partial p^2}+4\frac{\partial^2z}{\partial p\partial q}+\frac{\partial^2z}{\partial q^2}}\)
Zatem podstawiając do równania i po uproszczeniu, otrzymamy:
\(\displaystyle{ \frac{\partial^2z}{\partial p\partial q}=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial^2z}{\partial x^2}=(\frac{\partial^2z}{\partial p^2}3+\frac{\partial^2z}{\partial p\partial q})3+\frac{\partial^2z}{\partial q^2}+\frac{\partial^2z}{\partial q\partial p}3=9\frac{\partial^2z}{\partial p^2}+6\frac{\partial^2z}{\partial p\partial q}+\frac{\partial^2z}{\partial q^2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial p}+\frac{\partial z}{\partial q}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial^2z}{\partial y^2}=\frac{\partial^2z}{\partial p^2}+\frac{\partial^2z}{\partial p\partial q}+\frac{\partial^2z}{\partial q^2}+\frac{\partial^2z}{\partial q\partial p}=\frac{\partial^2z}{\partial p^2}+2\frac{\partial^2z}{\partial p\partial q}+\frac{\partial^2z}{\partial q^2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2z}{\partial p^2}3+\frac{\partial^2z}{\partial p\partial q}+\frac{\partial^2z}{\partial q^2}+3\frac{\partial^2z}{\partial q\partial p}=3\frac{\partial^2z}{\partial p^2}+4\frac{\partial^2z}{\partial p\partial q}+\frac{\partial^2z}{\partial q^2}}\)
Zatem podstawiając do równania i po uproszczeniu, otrzymamy:
\(\displaystyle{ \frac{\partial^2z}{\partial p\partial q}=0}\)
-
gawi
- Użytkownik
- Posty: 96
- Rejestracja: 10 mar 2007, o 14:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: O-ka
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 1 raz
rownanie z nowymi zmiennymi
Nie rozumiem skąd to się wzięło:
\(\displaystyle{ \frac{\partial^2z}{\partial x^2}=(\frac{\partial^2z}{\partial p^2}3+\frac{\partial^2z}{\partial p\partial q})3+\frac{\partial^2z}{\partial q^2}+\frac{\partial^2z}{\partial q\partial p}3=9\frac{\partial^2z}{\partial p^2}+6\frac{\partial^2z}{\partial p\partial q}+\frac{\partial^2z}{\partial q^2}}\)
Ja doszedłem do czegoś takiego i nie wiem co dalej:
\(\displaystyle{ \frac{\partial^2z}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}(3\frac{\partial z}{\partial p}+ \frac{\partial z}{\partial q})=3\frac{\partial^2 z}{\partial x p}+ \frac{\partial^2 z}{\partial x q}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial^2z}{\partial x^2}=(\frac{\partial^2z}{\partial p^2}3+\frac{\partial^2z}{\partial p\partial q})3+\frac{\partial^2z}{\partial q^2}+\frac{\partial^2z}{\partial q\partial p}3=9\frac{\partial^2z}{\partial p^2}+6\frac{\partial^2z}{\partial p\partial q}+\frac{\partial^2z}{\partial q^2}}\)
Ja doszedłem do czegoś takiego i nie wiem co dalej:
\(\displaystyle{ \frac{\partial^2z}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}(3\frac{\partial z}{\partial p}+ \frac{\partial z}{\partial q})=3\frac{\partial^2 z}{\partial x p}+ \frac{\partial^2 z}{\partial x q}}\)
-
bedbet
- Użytkownik
- Posty: 2530
- Rejestracja: 15 mar 2008, o 22:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 248 razy
rownanie z nowymi zmiennymi
Twój zapis
\(\displaystyle{ \frac{\partial^2z}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}(3\frac{\partial z}{\partial p}+ \frac{\partial z}{\partial q})=3\frac{\partial^2 z}{\partial x p}+ \frac{\partial^2 z}{\partial x q}}\)[/quote]
jest błędny. Nie wymnażamy przez siebie wyrażeń \(\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial x}(3\frac{\partial z}{\partial p}+ \frac{\partial z}{\partial q})}\) ja normalne działania na liczbach! Oznaczenie te mówi nam tylko, że wyrażenie w nawiasie różniczkujemy poraz kolejny po iksie. Należy pamiętać, że jest to funkcja złożona i liczyć pochodne w nawiasie jak pochodna funkcji złożonej, tj. tak jak ja zapisałem.
\(\displaystyle{ \frac{\partial^2z}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}(3\frac{\partial z}{\partial p}+ \frac{\partial z}{\partial q})=3\frac{\partial^2 z}{\partial x p}+ \frac{\partial^2 z}{\partial x q}}\)[/quote]
jest błędny. Nie wymnażamy przez siebie wyrażeń \(\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial x}(3\frac{\partial z}{\partial p}+ \frac{\partial z}{\partial q})}\) ja normalne działania na liczbach! Oznaczenie te mówi nam tylko, że wyrażenie w nawiasie różniczkujemy poraz kolejny po iksie. Należy pamiętać, że jest to funkcja złożona i liczyć pochodne w nawiasie jak pochodna funkcji złożonej, tj. tak jak ja zapisałem.