Zależności między najbardziej znanymi rozkładami
: 27 lip 2008, o 14:02
Wstęp
Sądzę że warto zebrać w jednym miejscu powiązania między różnymi rozkładami prawdopodobieństwa. Często w zadaniach są potrzebne różne zależności i dobrze jest je mieć wszystkie razem dlatego też poniżej wypiszę te, z których osobiście korzystałem oraz te które są mi znane. Do niektórych postaram się dopisać dowody podanych zależności, w miarę upływu czasu powinno ich być coraz to więcej.
Wszędzie poniżej zakładam, że zmienne losowe, które występują w założeniach są niezależne.
I Rozkład Bernoulliego (zero-jedynkowy)
1. Suma zmiennych o rozkładzie zero-jedynkowym ma rozkład dwumianowy.\(\displaystyle{ Z: X_1, \ldots, X_n \sim \mathcal{B}(1,p)}\)
\(\displaystyle{ T: \sum_{i=1}^n X_i \sim \mathcal{B}(n,p)}\)
II Rozkład chi-kwadrat
1. Rozkład chi-kwadrat jako szczególny przypadek rozkładu gamma.\(\displaystyle{ Z: X \sim \chi^2_n}\)
\(\displaystyle{ T: X \sim \Gamma \left(\frac{n}{2},2 \right)}\)
III Rozkład dwumianowy
1. Suma zmiennych o rozkładzie dwumianowym ma rozkład dwumianowy.\(\displaystyle{ Z: X \sim \mathcal{B}(n,p) \ \ \wedge \ \ Y \sim \mathcal{B}(m,p)}\)
\(\displaystyle{ T: X+Y \sim \mathcal{B}(n+m,p)}\)
IV Rozkład F Snedecora
1. Odwrotność zmiennej o rozkładzie F ma rozkład F.\(\displaystyle{ Z: X \sim \mathcal{F}(\nu_1, \nu_2)}\)
\(\displaystyle{ T: \frac{1}{X} \sim \mathcal{F}(\nu_2, \nu_1)}\)
2. Odpowiedni iloraz zmiennych o rozkładach F ma rozkład beta.
\(\displaystyle{ Z: X \sim \mathcal{F}(\nu_1, \nu_2)}\)
\(\displaystyle{ T: \frac{\nu_1 \frac{X}{\nu_2}}{1+\nu_1 \frac{X}{\nu_2}} \sim \mathcal{B}e(\frac{\nu_1}{2}, \frac{\nu_2}{2})}\)
V Rozkład geometryczny
1. Suma zmiennych o rozkładzie geometrycznym ma rozkład ujemny dwumianowy.\(\displaystyle{ Z: X_1, \ldots, X_r \sim \mathcal{G}e(p)}\)
\(\displaystyle{ T: \sum_{i=1}^r X_i \sim \mathcal{NB}(r,p)}\)
VI Rozkład jednostajny ciągły
1. Standardowy rozkład jednostajny jako szczególny przypadek rozkładu beta.\(\displaystyle{ Z: X \sim U[0,1]}\)
\(\displaystyle{ T: X \sim \mathcal{B}e(1,1)}\)
2. Nieco zmodyfikowany logarytm naturalny zmiennej o standardowym rozkładzie jednostajnym ma rozkład wykładniczy.
\(\displaystyle{ Z: X \sim U[0,1] \ \ \wedge \ \ \lambda > 0}\)
\(\displaystyle{ T: -\frac{\ln X}{\lambda} \sim Exp(\lambda)}\)
Dowód:
VII Rozkład normalny
1. Iloraz standardowych zmiennych normalnych ma rozkład Cauchy'ego.\(\displaystyle{ Z: X, Y \sim \mathcal{N}(0,1)}\)
\(\displaystyle{ T: \frac{X}{Y} \sim \mathcal{C}(0,1)}\)
2. Suma kwadratów standardowych zmiennych normalnych ma rozkład chi-kwadrat.
\(\displaystyle{ Z: X_1, \ldots, X_n \sim \mathcal{N}(0,1)}\)
\(\displaystyle{ T: X_1^2 + \ldots + X_n^2 \sim \chi^2_n}\)
3. Pierwiastek z sumy kwadratów dwóch zmiennych normalnych ma rozkład Rayleigha.
\(\displaystyle{ Z: X, Y \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)}\)
\(\displaystyle{ T: \sqrt{X^2+Y^2} \sim \mathcal{R}a(\sigma^2)}\)
4. Funkcja ekspotencjalna zmiennej normalnej ma rozkład logarytmiczno-normalny.
\(\displaystyle{ Z: X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)}\)
\(\displaystyle{ T: e^X \sim \mathcal{LN}(\mu, \sigma^2)}\)
VIII Rozkład t Studenta
1. Definicja rozkładu.\(\displaystyle{ Z: X \sim \mathcal{N}(0,1) \ \ \wedge \ \ Y \sim \chi^2_k}\)
\(\displaystyle{ T: \frac{X}{\sqrt{\frac{Y}{k}}} \sim t_k}\)
2. Kwadrat zmiennej o rozkładzie t ma rozkład F.
\(\displaystyle{ Z: X \sim t_n}\)
\(\displaystyle{ T: X^2 \sim F(1,n)}\)
IX Rozkład wykładniczy
1. Rozkład wykładniczy jako szczególny przypadek rozkładu gamma.\(\displaystyle{ Z: X \sim Exp(\lambda)}\)
\(\displaystyle{ T: X \sim \Gamma(1, \lambda)}\)
2. Suma zmiennych wykładniczych ma rozkład gamma.
\(\displaystyle{ Z: X_1, \ldots, X_n \sim Exp(\lambda) \sim \Gamma(1, \lambda)}\)
\(\displaystyle{ T: \sum_{i=1}^n X_i \sim \Gamma(n, \lambda)}\)
3. Rozkład wykładniczy jako szczególny przypadek rozkładu Erlanga.
\(\displaystyle{ Z: X \sim Exp(\lambda)}\)
\(\displaystyle{ T: X \sim \mathcal{E}r(1, \lambda)}\)
4. Rozkład wykładniczy jako szczególny przypadek rozkładu Weibulla.
\(\displaystyle{ Z: X \sim Exp(\lambda)}\)
\(\displaystyle{ T: X \sim \mathcal{W}e(1, \lambda)}\)
5. Rozkład wykładniczy jako szczególny przypadek rozkładu ujemnego wykładniczego.
\(\displaystyle{ Z: X \sim Exp(\lambda)}\)
\(\displaystyle{ T: X \sim NExp(0, \lambda)}\)
6. Minimum zmiennych wykładniczych ma rozkład wykładniczy.
\(\displaystyle{ Z: X_i \sim Exp(\lambda_i), \ \ i=1, \ldots, n}\)
\(\displaystyle{ T: \min \{X_1, \ldots, X_n \} \sim Exp(\lambda_1 + \ldots + \lambda_n)}\)
7. Pierwiastek ze zmiennej wykładniczej ma rozkład Rayleigha.
\(\displaystyle{ Z: X \sim Exp(\lambda)}\)
\(\displaystyle{ T: \sqrt{\frac{2X}{\lambda}} \sim \mathcal{R}a(\frac{1}{\lambda})}\)
X Rozkład Cauchy'ego
1. Rozkład Cauchy'ego jako szczególny przypadek rozkładu t.\(\displaystyle{ Z: X \sim \mathcal{C}(0,1)}\)
\(\displaystyle{ T: X \sim t_1}\)
XI Rozkład Poissona
1. Suma zmiennych o rozkładzie Poissona ma rozkład Poissona.\(\displaystyle{ Z: X \sim \mathcal{P}(\lambda_1) \ \ \wedge \ \ Y \sim \mathcal{P}(\lambda_2)}\)
\(\displaystyle{ T: X+Y \sim \mathcal{P}(\lambda_1+\lambda_2)}\)
Dowód:
XII Rozkład Pareto
1. Logarytm naturalny zmiennej o rozkładzie Pareto ma rozkład ujemny wykładniczy.\(\displaystyle{ Z: X \sim \mathcal{P}a(x_0, \alpha)}\)
\(\displaystyle{ T: \ln (X) \sim NExp(\ln (x_0), \alpha)}\)
Rozkład ujemny wykładniczy jest to zwykły rozkład wykładniczy przesunięty w (tym przypadku) o \(\displaystyle{ \ln (x_0)}\) w prawo.
Dowód: