Zależności między najbardziej znanymi rozkładami

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z probabilistyki oraz statystyki matematycznej.
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Zależności między najbardziej znanymi rozkładami

Post autor: Emiel Regis » 27 lip 2008, o 14:02

[center][size=150][color=green][b]Wstęp[/b][/color][/size][/center]




Sądzę że warto zebrać w jednym miejscu powiązania między różnymi rozkładami prawdopodobieństwa. Często w zadaniach są potrzebne różne zależności i dobrze jest je mieć wszystkie razem dlatego też poniżej wypiszę te, z których osobiście korzystałem oraz te które są mi znane. Do niektórych postaram się dopisać dowody podanych zależności, w miarę upływu czasu powinno ich być coraz to więcej.

Wszędzie poniżej zakładam, że zmienne losowe, które występują w założeniach są [b]niezależne[/b].



[center][latex]\hline[/latex][/center]



[center][size=130][b][color=green]I Rozkład Bernoulliego (zero-jedynkowy)[/color][/b][/size][/center]


[b]1. Suma zmiennych o rozkładzie zero-jedynkowym ma rozkład dwumianowy.[/b]

[latex]Z: X_1, \ldots, X_n \sim \mathcal{B}(1,p)[/latex]

[latex]T: \sum_{i=1}^n X_i \sim \mathcal{B}(n,p)[/latex]



[center][latex]\hline[/latex][/center]



[center][size=130][b][color=green]II Rozkład chi-kwadrat[/color][/b][/size][/center]


[b]1. Rozkład chi-kwadrat jako szczególny przypadek rozkładu gamma.[/b]

[latex]Z: X \sim \chi^2_n[/latex]

[latex]T: X \sim \Gamma \left(\frac{n}{2},2 \right)[/latex]



[center][latex]\hline[/latex][/center]



[center][size=130][b][color=green]III Rozkład dwumianowy[/color][/b][/size][/center]


[b]1. Suma zmiennych o rozkładzie dwumianowym ma rozkład dwumianowy.[/b]

[latex]Z: X \sim \mathcal{B}(n,p) \ \ \wedge \ \ Y \sim \mathcal{B}(m,p)[/latex]

[latex]T: X+Y \sim \mathcal{B}(n+m,p)[/latex]



[center][latex]\hline[/latex][/center]



[center][size=130][b][color=green]IV Rozkład F Snedecora[/color][/b][/size][/center]


[b]1. Odwrotność zmiennej o rozkładzie F ma rozkład F.[/b]

[latex]Z: X \sim \mathcal{F}(\nu_1, \nu_2)[/latex]

[latex]T: \frac{1}{X} \sim \mathcal{F}(\nu_2, \nu_1)[/latex]

[b]2. Odpowiedni iloraz zmiennych o rozkładach F ma rozkład beta.[/b]

[latex]Z: X \sim \mathcal{F}(\nu_1, \nu_2)[/latex]

[latex]T: \frac{\nu_1 \frac{X}{\nu_2}}{1+\nu_1 \frac{X}{\nu_2}} \sim \mathcal{B}e(\frac{\nu_1}{2}, \frac{\nu_2}{2})[/latex]



[center][latex]\hline[/latex][/center]



[center][size=130][b][color=green]V Rozkład geometryczny[/color][/b][/size][/center]


[b]1. Suma zmiennych o rozkładzie geometrycznym ma rozkład ujemny dwumianowy.[/b]

[latex]Z: X_1, \ldots, X_r \sim \mathcal{G}e(p)[/latex]

[latex]T: \sum_{i=1}^r X_i \sim \mathcal{NB}(r,p)[/latex]



[center][latex]\hline[/latex][/center]



[center][size=130][b][color=green]VI Rozkład jednostajny ciągły[/color][/b][/size][/center]


[b]1. Standardowy rozkład jednostajny jako szczególny przypadek rozkładu beta.[/b]

[latex]Z: X \sim U[0,1][/latex]

[latex]T: X \sim \mathcal{B}e(1,1)[/latex]

[b]2. Nieco zmodyfikowany logarytm naturalny zmiennej o standardowym rozkładzie jednostajnym ma rozkład wykładniczy.[/b]

[latex]Z: X \sim U[0,1] \ \ \wedge \ \ \lambda > 0[/latex]

[latex]T: -\frac{\ln X}{\lambda} \sim Exp(\lambda)[/latex]

[hide=Dowód][latex]X \sim U[0,1] \Longrightarrow f_X(x)=1_{[0,1]}(x)\\ \\
Y = -\frac{\ln X}{\lambda} \\

F_Y(y)=P(Y \leqslant y) = P(-\frac{\ln X}{\lambda} \leqslant y) = P(e^{-y \lambda} \geqslant X) = 1 - F_X(e^{-y \lambda})[/latex]


różniczkuję obustronnie i otrzymuję:

[latex]f_Y(y)=-f_X(e^{-y \lambda}) e^{-y \lambda} (-\lambda) = \lambda e^{-y \lambda} 1_{[0,1]}(e^{-y \lambda}) = \lambda e^{-y \lambda} 1_{[0, \infty)}(y) \sim Exp(\lambda)[/latex][/hide]




[center][latex]\hline[/latex][/center]



[center][size=130][b][color=green]VII Rozkład normalny[/color][/b][/size][/center]


[b]1. Iloraz standardowych zmiennych normalnych ma rozkład Cauchy'ego.[/b]

[latex]Z: X, Y \sim \mathcal{N}(0,1)[/latex]

[latex]T: \frac{X}{Y} \sim \mathcal{C}(0,1)[/latex]

[b]2. Suma kwadratów standardowych zmiennych normalnych ma rozkład chi-kwadrat.[/b]

[latex]Z: X_1, \ldots, X_n \sim \mathcal{N}(0,1)[/latex]

[latex]T: X_1^2 + \ldots + X_n^2 \sim \chi^2_n[/latex]

[b]3. Pierwiastek z sumy kwadratów dwóch zmiennych normalnych ma rozkład Rayleigha.[/b]

[latex]Z: X, Y \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)[/latex]

[latex]T: \sqrt{X^2+Y^2} \sim \mathcal{R}a(\sigma^2)[/latex]

[b]4. Funkcja ekspotencjalna zmiennej normalnej ma rozkład logarytmiczno-normalny.[/b]

[latex]Z: X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)[/latex]

[latex]T: e^X \sim \mathcal{LN}(\mu, \sigma^2)[/latex]



[center][latex]\hline[/latex][/center]



[center][size=130][b][color=green]VIII Rozkład t Studenta[/color][/b][/size][/center]


[b]1. Definicja rozkładu.[/b]

[latex]Z: X \sim \mathcal{N}(0,1) \ \ \wedge \ \ Y \sim \chi^2_k[/latex]

[latex]T: \frac{X}{\sqrt{\frac{Y}{k}}}} \sim t_k[/latex]

[b]2. Kwadrat zmiennej o rozkładzie t ma rozkład F.[/b]

[latex]Z: X \sim t_n[/latex]

[latex]T: X^2 \sim F(1,n)[/latex]



[center][latex]\hline[/latex][/center]



[center][size=130][b][color=green]IX Rozkład wykładniczy[/color][/b][/size][/center]


[b]1. Rozkład wykładniczy jako szczególny przypadek rozkładu gamma.[/b]

[latex]Z: X \sim Exp(\lambda)[/latex]

[latex]T: X \sim \Gamma(1, \lambda)[/latex]

[b]2. Suma zmiennych wykładniczych ma rozkład gamma.[/b]

[latex]Z: X_1, \ldots, X_n \sim Exp(\lambda) \sim \Gamma(1, \lambda)[/latex]

[latex]T: \sum_{i=1}^n X_i \sim \Gamma(n, \lambda)[/latex]

[b]3. Rozkład wykładniczy jako szczególny przypadek rozkładu Erlanga.[/b]

[latex]Z: X \sim Exp(\lambda)[/latex]

[latex]T: X \sim \mathcal{E}r(1, \lambda)[/latex]

[b]4. Rozkład wykładniczy jako szczególny przypadek rozkładu Weibulla.[/b]

[latex]Z: X \sim Exp(\lambda)[/latex]

[latex]T: X \sim \mathcal{W}e(1, \lambda)[/latex]

[b]5. Rozkład wykładniczy jako szczególny przypadek rozkładu ujemnego wykładniczego.[/b]

[latex]Z: X \sim Exp(\lambda)[/latex]

[latex]T: X \sim NExp(0, \lambda)[/latex]

[b]6. Minimum zmiennych wykładniczych ma rozkład wykładniczy.[/b]

[latex]Z: X_i \sim Exp(\lambda_i), \ \ i=1, \ldots, n[/latex]

[latex]T: \min \{X_1, \ldots, X_n \} \sim Exp(\lambda_1 + \ldots + \lambda_n)[/latex]

[b]7. Pierwiastek ze zmiennej wykładniczej ma rozkład Rayleigha.[/b]

[latex]Z: X \sim Exp(\lambda)[/latex]

[latex]T: \sqrt{\frac{2X}{\lambda}} \sim \mathcal{R}a(\frac{1}{\lambda})[/latex]



[center][latex]\hline[/latex][/center]



[center][size=130][b][color=green]X Rozkład Cauchy'ego[/color][/b][/size][/center]


[b]1. Rozkład Cauchy'ego jako szczególny przypadek rozkładu t.[/b]

[latex]Z: X \sim \mathcal{C}(0,1)[/latex]

[latex]T: X \sim t_1[/latex]



[center][latex]\hline[/latex][/center]



[center][size=130][b][color=green]XI Rozkład Poissona[/color][/b][/size][/center]


[b]1. Suma zmiennych o rozkładzie Poissona ma rozkład Poissona.[/b]

[latex]Z: X \sim \mathcal{P}(\lambda_1) \ \ \wedge \ \ Y \sim \mathcal{P}(\lambda_2)[/latex]

[latex]T: X+Y \sim \mathcal{P}(\lambda_1+\lambda_2)[/latex]

[hide=Dowód][b]Pierwszy dowód:[/b]

[latex]P(X+Y=k) = \sum_{i=0}^k P(X=i, Y=k-i) =
\sum_{i=0}^k e^{-\lambda_1} \frac{\lambda_1^i}{i!} \cdot e^{-\lambda_2} \frac{\lambda_2^{k-i}}{(k-i)!} = \\ \\ \\
= e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)} \frac{1}{k!} \sum_{i=0}^k {k \choose i} \lambda_1^i \lambda_2^{k-i} =
e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)} \frac{(\lambda_1+\lambda_2)^k}{k!}[/latex]


[b]Drugi dowód:[/b]

Zamieszczam go ponieważ jest krótszy i bardziej elegancki wg mnie. Wymaga tylko, aby wiedzieć, że funkcja charakterystyczna sumy niezależnych zmiennych losowych jest równa iloczynowi funkcji charakterystycznych owych zmiennych.

[latex]\varphi_{X+Y}(t) = \varphi_X(t) \cdot \varphi_Y(t) =
\exp \left \{\lambda_1(e^{it}-1) \right \} \cdot \exp \left \{\lambda_2(e^{it}-1) \right \} =
\exp \left \{(\lambda_1+\lambda_2)(e^{it}-1) \right \}[/latex]


Widzimy więc, że funkcja charakterystyczna sumy zmiennych o rozkładach Poissona jest funkcją charakterystyczną zmiennej o rozkładzie Poissona.[/hide]




[center][latex]\hline[/latex][/center]


[center][size=130][b][color=green]XII Rozkład Pareto[/color][/b][/size][/center]


[b]1. Logarytm naturalny zmiennej o rozkładzie Pareto ma rozkład ujemny wykładniczy.[/b]

[latex]Z: X \sim \mathcal{P}a(x_0, \alpha)[/latex]

[latex]T: \ln (X) \sim NExp(\ln (x_0), \alpha)[/latex]

Rozkład ujemny wykładniczy jest to zwykły rozkład wykładniczy przesunięty w (tym przypadku) o [latex]\ln (x_0)[/latex] w prawo.

[hide=Dowód][latex]X \sim \mathcal{P}a(x_0, \alpha) \Longrightarrow f_X(x) = \frac{\alpha}{x_0} \cdot \left(\frac{x_0}{x} \right )^{\alpha+1} \cdot 1_{(x_0, \infty)}(x) \\ \\
Y = \ln (X) \\ \\
F_Y(y) = P(Y \leqslant y) = P(\ln (X) \leqslant y) = P(X \leqslant e^y) = F_X(e^y)[/latex]


różniczkuję obustronnie i otrzymuję:

[latex]f_Y(y)=f_X(e^y) \cdot e^y = \frac{\alpha}{x_0} \cdot \left(\frac{x_0}{e^y} \right )^{\alpha+1} e^y \cdot 1_{(x_0, \infty)}(e^y) = \alpha x_0^{\alpha} e^{-\alpha y} \cdot 1_{(\ln (x_0), \infty)}(y) =
\\ \\ \\
= \alpha e^{-\alpha(y-\ln (x_0))} \cdot 1_{(\ln (x_0), \infty)}(y) \sim NExp(\ln (x_0), \alpha)[/latex]
[/hide]




[center][latex]\hline[/latex][/center]

ODPOWIEDZ