Znaleźć krzywą.
: 9 cze 2008, o 19:00
Znajdź krzywą dla której odległość dowolnej stycznej od początku układu współrzędnych jest stała i wynosi s.
\(\displaystyle{ f'(x_0) x - y + \left( y_0 - x_0 f'(x_0) \right) = 0}\)
Odległość tej prostej od początku układu współrzędnych możemy przedstawić jako
\(\displaystyle{ s = \frac{| y_0 - x_0 f'(x_0) |}{\sqrt{f'(x_0)^2 + 1}}}\)
Otrzymujemy zatem następujące równanie różniczkowe
\(\displaystyle{ s = \frac{|y - x y'|}{\sqrt{y'^2 + 1}}}\)
Załóżmy teraz że y-xy'>0. Doprowadzając równanie do postaci
\(\displaystyle{ s \sqrt{y'^2 + 1} = y - x y'}\)
różniczkujemy je obustronnie
\(\displaystyle{ \frac{s y' \; y''}{\sqrt{y'^2 + 1}} = - x y''}\)
stąd y''=0, czyli y=Ax+B. Jednak by było y-xy'>0 musi być B>0.Drugie rozwiązanie tego równania to
\(\displaystyle{ y' = \pm \frac{i x}{\sqrt{x^2 - s^2}} \iff y + C = \pm \sqrt{s^2 - x^2}}\)
Podobnie rozważając przypadek y - x y' \(\displaystyle{ y = A x + B \; \; \vee \; \; y + C = \pm \sqrt{s^2 - x^2}}\)