Znaleźć krzywą.

[m_ark_o]

Znajdź krzywą dla której odległość dowolnej stycznej od początku układu współrzędnych jest stała i wynosi s.

[luka52]

Równanie ogólne stycznej w punkcie x0 to

\(\displaystyle{ f'(x_0) x - y + \left( y_0 - x_0 f'(x_0) \right) = 0}\)

Odległość tej prostej od początku układu współrzędnych możemy przedstawić jako

\(\displaystyle{ s = \frac{| y_0 - x_0 f'(x_0) |}{\sqrt{f'(x_0)^2 + 1}}}\)

Otrzymujemy zatem następujące równanie różniczkowe

\(\displaystyle{ s = \frac{|y - x y'|}{\sqrt{y'^2 + 1}}}\)

Załóżmy teraz że y-xy'>0. Doprowadzając równanie do postaci

\(\displaystyle{ s \sqrt{y'^2 + 1} = y - x y'}\)

różniczkujemy je obustronnie

\(\displaystyle{ \frac{s y' \; y''}{\sqrt{y'^2 + 1}} = - x y''}\)

stąd y''=0, czyli y=Ax+B. Jednak by było y-xy'>0 musi być B>0.
Drugie rozwiązanie tego równania to

\(\displaystyle{ y' = \pm \frac{i x}{\sqrt{x^2 - s^2}} \iff y + C = \pm \sqrt{s^2 - x^2}}\)

Podobnie rozważając przypadek y - x y'

\(\displaystyle{ y = A x + B \; \; \vee \; \; y + C = \pm \sqrt{s^2 - x^2}}\)

[m_ark_o]

Korzystasz chyba z odległości punktu od prostej. A jakby spróbować takiego myku:

\(\displaystyle{ y'= \frac{y-0}{x-x_{0} }}\)

I \(\displaystyle{ x_{0}}\) uzależnić od s (z trójkąta, który się tam utworzy). Czy tak również otrzymałbym poprawne rozwiązanie? Nie mogę zwinąć w żaden sposób tego co mi wychodzi do jakiegoś znanego mi równania.