Matematyka.pl

Jak obliczyc pochodna funkcji f(x)=arctgx (znajac pochodne sinx, cosx, tgx, ctgx)? Chodzi mi glownie o sposob, bo wzor to moge sprawdzic w pierwszej lepszej tablicy matematycznej... .

mamy funkcję \(\displaystyle{ y=arctg x}\)
stosujemy twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej:
\(\displaystyle{ (arctg x)'=\frac{1}{(tg y)'}=cos^{2}y=\frac{cos^{2}y}{1}=\frac{cos^{2}y}{sin^{2}y+cos^{2}y}}\)
dzielę licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ cos^{2}y}\) i mam:
\(\displaystyle{ (arctg x)'=\frac{1}{1+tg^{2}y}}\)
podstawiam y=arctg x
\(\displaystyle{ (arctg x)'=\frac{1}{1+x^{2}}}\)