Matematyka.pl

Dany jest promień \(\displaystyle{ R}\) okręgu opisanego na trójkącie i promień \(\displaystyle{ r}\) okręgu wpisanego w trójkąt. Obliczyć odległość środków okręgów.


Zadanie rozwiązane, ale... chciałbym zobaczyć 'czysto syntetyczne' rozwiązanie:) Z góry dziękuję.


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

co to znaczy czysto synteteyczne ?

to znaczy nieanalityczne.

kombinuj z inwersja i Feuerbachem.

Witam,
Tak naprawdę zadanie nie ma rozwiązania. W treści nie podano, jaki trójkąt rozpatrujemy.
Oznaczenia:
\(\displaystyle{ o(A,R)}\) - okrąg opisany na trójkącie o środku A i promieniu R
\(\displaystyle{ o(B,r)}\) - okrąg wpisany w trójkąt o środku B i promienu r
\(\displaystyle{ | AB |}\) - odległość środków okręgów

Jeżeli weźmiemy trójkąt równoboczny, wtedy otrzymamy okręgi rozłączne współśrodkowe: \(\displaystyle{ o(A,R)\cap o(B,r)=\emptyset}\) , środek okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na trójkącie równobocznym , stąd \(\displaystyle{ | AB |=0}\) ( oczywiście \(\displaystyle{ r\neq R}\) ). Natomiast jeżeli rozpatrujemy trójkąt prostokątny, wtedy otrzymamy okręgi rozłączne wewnętrznie:\(\displaystyle{ o(A,R)\cap o(B,r)=\emptyset}\) ; środek okręgu opisanego leży wówczas na środku przeciwprostokątnej, a środek okręgu wpisanego leży wewnątrz trójkąta, stąd \(\displaystyle{ 0}\)

skoro Tomasz Rużycki napisal ze ma rozwiazanie tzn ze da sie je rozwiazac w takim brzmieniu jakie podal

Zadanie ma rozwiązanie, są wzory Eulera:

\(\displaystyle{ \rho}\) to odległość środków okręgów

\(\displaystyle{ \rho=\sqrt{R^2-2Rr}}\)

\(\displaystyle{ {1 \over R-\rho}+{1 \over R+\rho}={1 \over r}}\)

Mersenne pisze:Tak naprawdę zadanie nie ma rozwiązania. W treści nie podano, jaki trójkąt rozpatrujemy.

faktycznie, racja promienie wpisanego i opisanego nie definiuja trojkata. trojkat musi byc dany. no ale wiadomo o co chodzi, na pewno jest tylko tomkowi umknelo

A mozecie dac jakis przyklad na to, ze nie definiuja? Bo ja tego nie widze:P

W rozwiązaniu, które posiadam korzysta się z definicji momentu bezwładności/twierdzenia Jaccobiego/twierdzenia Lagrange'a & ze wzorów na pole trojkąta - po drodze 'nie zwraca się uwagi' na to, jaki trójkąt rozpatrujemy:)


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

nawet jesli trojkat nie jest jednoznacznie wyznaczony to jednoznacznie wyznaczona jest ta odleglosc... co w wynika z kazdego rozwiazania problemu.

To że promienie okręgów nie definiują jednoznacznie trójkąta, można sprawdzić przy pomocy
programu Niezbędnik .
Po wpisaniu
\(\displaystyle{ R\,=\, 10 \, \, r\,=\,2 \,\, c \,=\, 12}\)
i kliknięcu "Obliczenia", mamy

Natomiast dla tych samych promieni, boku np. c = 13 , otrzymujemy
[url=http://www.ghnet.pl/~wzygm/rysunki/odl_srod3.gif]trójkąt 2[/url]
jak widać, zupełnie inne wartości boków i kątów.

Dziękuję;) Zupełnie nie mam wyobraźni do geometrii:)

Witam ponownie,
Zgadzam się z użytkownikami, którzy napisali, iż promienie okręgów nie definiują jednoznacznie trójkąta.
P.S.Tomek przeczytaj mój pierwszy post i udowodnij słuszność swojego rozumowania. Proszę o dowody.

Jak już ktoś wyżej napisał, to, że owe promienie nie określają jednoznacznie trójkąta nie wyklucza tego, że szukana odległość jest uzależniona właśnie od nich:)


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

Przykro mi Mersenne,ale nie masz racji.
Stosunek promieni w trójkącie równobocznym jest zawsze
\(\displaystyle{ \frac{r}{R}\,=\,\frac{1}{2}}\)

Tymczasem, nie da się zbudować trójkąta prostokątnego o takim stosunku promieni.
Co najwyżej (w trójkącie równoramiennym) może być
\(\displaystyle{ \frac{r}{R}\,=\,\frac{1}{ \sqrt{ 2 } + 1 } \,=\, 0.4142135620}\)
Co więcej, mimo niejednoznaczności co do trójkątów, istnieje jednoznaczność
jeśli chodzi o odległość środków.


Intryguje mnie ten dowód "syntetyczny".