Okrąg wpisany i opisany na trójkącie - odległość śro

Dział całkowicie poświęcony zagadnieniom związanymi z trójkątami. Temu co się w nie wpisuje i na nich opisuje - też...
Awatar użytkownika
Tomasz Rużycki
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2970
Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 293 razy

Okrąg wpisany i opisany na trójkącie - odległość śro

Post autor: Tomasz Rużycki » 27 cze 2005, o 14:02

Dany jest promień \(\displaystyle{ R}\) okręgu opisanego na trójkącie i promień \(\displaystyle{ r}\) okręgu wpisanego w trójkąt. Obliczyć odległość środków okręgów.


Zadanie rozwiązane, ale... chciałbym zobaczyć 'czysto syntetyczne' rozwiązanie:) Z góry dziękuję.


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
bisz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 572
Rejestracja: 13 paź 2004, o 18:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 27 razy

Okrąg wpisany i opisany na trójkącie - odległość śro

Post autor: bisz » 12 lip 2005, o 09:55

co to znaczy czysto synteteyczne ?

Awatar użytkownika
g
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1552
Rejestracja: 21 sie 2004, o 16:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 59 razy

Okrąg wpisany i opisany na trójkącie - odległość śro

Post autor: g » 12 lip 2005, o 13:36

to znaczy nieanalityczne.

kombinuj z inwersja i Feuerbachem.

Awatar użytkownika
Mersenne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1010
Rejestracja: 27 cze 2005, o 23:52
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Bytom/Katowice
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 303 razy

Okrąg wpisany i opisany na trójkącie - odległość śro

Post autor: Mersenne » 13 lip 2005, o 12:47

Witam,
Tak naprawdę zadanie nie ma rozwiązania. W treści nie podano, jaki trójkąt rozpatrujemy.
Oznaczenia:
\(\displaystyle{ o(A,R)}\) - okrąg opisany na trójkącie o środku A i promieniu R
\(\displaystyle{ o(B,r)}\) - okrąg wpisany w trójkąt o środku B i promienu r
\(\displaystyle{ | AB |}\) - odległość środków okręgów

Jeżeli weźmiemy trójkąt równoboczny, wtedy otrzymamy okręgi rozłączne współśrodkowe: \(\displaystyle{ o(A,R)\cap o(B,r)=\emptyset}\) , środek okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na trójkącie równobocznym , stąd \(\displaystyle{ | AB |=0}\) ( oczywiście \(\displaystyle{ r\neq R}\) ). Natomiast jeżeli rozpatrujemy trójkąt prostokątny, wtedy otrzymamy okręgi rozłączne wewnętrznie:\(\displaystyle{ o(A,R)\cap o(B,r)=\emptyset}\) ; środek okręgu opisanego leży wówczas na środku przeciwprostokątnej, a środek okręgu wpisanego leży wewnątrz trójkąta, stąd \(\displaystyle{ 0}\)

arigo
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 852
Rejestracja: 23 paź 2004, o 10:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Pomógł: 28 razy

Okrąg wpisany i opisany na trójkącie - odległość śro

Post autor: arigo » 13 lip 2005, o 13:46

skoro Tomasz Rużycki napisal ze ma rozwiazanie tzn ze da sie je rozwiazac w takim brzmieniu jakie podal ;-)

Skrzypu
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1146
Rejestracja: 18 maja 2004, o 22:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 18 razy

Okrąg wpisany i opisany na trójkącie - odległość śro

Post autor: Skrzypu » 13 lip 2005, o 14:06

Zadanie ma rozwiązanie, są wzory Eulera:

\(\displaystyle{ \rho}\) to odległość środków okręgów

\(\displaystyle{ \rho=\sqrt{R^2-2Rr}}\)

\(\displaystyle{ {1 \over R-\rho}+{1 \over R+\rho}={1 \over r}}\)

Awatar użytkownika
g
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1552
Rejestracja: 21 sie 2004, o 16:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 59 razy

Okrąg wpisany i opisany na trójkącie - odległość śro

Post autor: g » 13 lip 2005, o 17:24

Mersenne pisze:Tak naprawdę zadanie nie ma rozwiązania. W treści nie podano, jaki trójkąt rozpatrujemy.
faktycznie, racja :) promienie wpisanego i opisanego nie definiuja trojkata. trojkat musi byc dany. no ale wiadomo o co chodzi, na pewno jest tylko tomkowi umknelo :)

liu
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1330
Rejestracja: 10 paź 2004, o 13:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów
Pomógł: 104 razy

Okrąg wpisany i opisany na trójkącie - odległość śro

Post autor: liu » 13 lip 2005, o 17:50

A mozecie dac jakis przyklad na to, ze nie definiuja? Bo ja tego nie widze:P

Awatar użytkownika
Tomasz Rużycki
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2970
Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 293 razy

Okrąg wpisany i opisany na trójkącie - odległość śro

Post autor: Tomasz Rużycki » 13 lip 2005, o 17:56

W rozwiązaniu, które posiadam korzysta się z definicji momentu bezwładności/twierdzenia Jaccobiego/twierdzenia Lagrange'a & ze wzorów na pole trojkąta - po drodze 'nie zwraca się uwagi' na to, jaki trójkąt rozpatrujemy:)


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

_el_doopa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 453
Rejestracja: 22 sie 2004, o 23:09
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 16 razy

Okrąg wpisany i opisany na trójkącie - odległość śro

Post autor: _el_doopa » 13 lip 2005, o 18:46

nawet jesli trojkat nie jest jednoznacznie wyznaczony to jednoznacznie wyznaczona jest ta odleglosc... co w wynika z kazdego rozwiazania problemu.

W_Zygmunt
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 545
Rejestracja: 1 wrz 2004, o 22:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 53 razy

Okrąg wpisany i opisany na trójkącie - odległość śro

Post autor: W_Zygmunt » 13 lip 2005, o 21:06

To że promienie okręgów nie definiują jednoznacznie trójkąta, można sprawdzić przy pomocy
programu Niezbędnik .
Po wpisaniu
\(\displaystyle{ R\,=\, 10 \, \, r\,=\,2 \,\, c \,=\, 12}\)
i kliknięcu "Obliczenia", mamy
trójkąt 1
Natomiast dla tych samych promieni, boku np. c = 13 , otrzymujemy
trójkąt 2
jak widać, zupełnie inne wartości boków i kątów.
Ostatnio zmieniony 14 lip 2005, o 18:20 przez W_Zygmunt, łącznie zmieniany 3 razy.

liu
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1330
Rejestracja: 10 paź 2004, o 13:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów
Pomógł: 104 razy

Okrąg wpisany i opisany na trójkącie - odległość śro

Post autor: liu » 13 lip 2005, o 22:06

Dziękuję;) Zupełnie nie mam wyobraźni do geometrii:)

Awatar użytkownika
Mersenne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1010
Rejestracja: 27 cze 2005, o 23:52
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Bytom/Katowice
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 303 razy

Okrąg wpisany i opisany na trójkącie - odległość śro

Post autor: Mersenne » 14 lip 2005, o 00:08

Witam ponownie,
Zgadzam się z użytkownikami, którzy napisali, iż promienie okręgów nie definiują jednoznacznie trójkąta.
P.S.Tomek przeczytaj mój pierwszy post i udowodnij słuszność swojego rozumowania. Proszę o dowody.

Awatar użytkownika
Tomasz Rużycki
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2970
Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 293 razy

Okrąg wpisany i opisany na trójkącie - odległość śro

Post autor: Tomasz Rużycki » 14 lip 2005, o 11:09

Jak już ktoś wyżej napisał, to, że owe promienie nie określają jednoznacznie trójkąta nie wyklucza tego, że szukana odległość jest uzależniona właśnie od nich:)


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

W_Zygmunt
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 545
Rejestracja: 1 wrz 2004, o 22:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 53 razy

Okrąg wpisany i opisany na trójkącie - odległość śro

Post autor: W_Zygmunt » 14 lip 2005, o 18:27

Przykro mi Mersenne,ale nie masz racji.
Stosunek promieni w trójkącie równobocznym jest zawsze
\(\displaystyle{ \frac{r}{R}\,=\,\frac{1}{2}}\)

Tymczasem, nie da się zbudować trójkąta prostokątnego o takim stosunku promieni.
Co najwyżej (w trójkącie równoramiennym) może być
\(\displaystyle{ \frac{r}{R}\,=\,\frac{1}{ \sqrt{ 2 } + 1 } \,=\, 0.4142135620}\)
Co więcej, mimo niejednoznaczności co do trójkątów, istnieje jednoznaczność
jeśli chodzi o odległość środków.


Intryguje mnie ten dowód "syntetyczny".

ODPOWIEDZ