Matematyka.pl

\(\displaystyle{ {\lim}_{(x,y) (0,0)} \frac{xy}{x+y}}\)

Czy mógłby mi ktoś pomóc znaleść takie ciągi pktów dla których granica jest rózna ?
Lub pomóc to uzasadnić w inny sposób:

Ja robię to tak, np:

\(\displaystyle{ {\lim}_{(x,y) (\pi,0)} \frac{\sin x}{\sin y}}\)

\(\displaystyle{ A = ft\{ ft( \pi - \frac{\pi}{n}, \frac{1}{n} \right) \right\}_{n \mathbb{N}}}\)

\(\displaystyle{ B = ft\{ ft( \pi - \frac{\pi}{n}, -\frac{1}{n} \right) \right\}_{n \mathbb{N}}}\)

widać, że:

\(\displaystyle{ \lim_{n } a_n = (\pi,0)}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n } b_n = (\pi,0)}\)

Teraz:
\(\displaystyle{ \lim_{n } f(a_n) = +\infty}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n } f(b_n) = -\infty}\)

Więc granica nie istnieje.

[ Dodano: 29 Lutego 2008, 22:33 ]
Ok, wystarczylo zrobic
(-1/n, 1/n) i (1/n,1/n). W 1-wszym przypadku granica nie istnieje, i to wystarczy.

Spróbuj \(\displaystyle{ \left(0, \frac{1}{n} \right)}\) i \(\displaystyle{ \left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}, -\frac{1}{n} \right)}\).

Q.

[ Dodano: 29 Lutego 2008, 22:48 ]

wieczyk pisze:[ Dodano: 29 Lutego 2008, 22:33 ]
Ok, wystarczylo zrobic
(-1/n, 1/n) (...) W 1-wszym przypadku granica nie istnieje, i to wystarczy.

Ciąg który wskazujemy musi należeć do dziedziny funkcji, więc Twój przykład nie jest dobry.

Q.

O cholera, masz racje bo do dziedziny nie należą pary (x,y), tze x=-y, ale (-2/n, 1/n) juz tak.