Matematyka.pl

Zad.
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f, ktorej wzor ma postac \(\displaystyle{ f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}.}\)
Wyznacz wspolczynniki a , b , c, d.



Gdyby nie dokladnie bylo widac to przykladowe pkty na wykresie to (5,-1) , (3,-3).

Z gory dzieki. Bede wdzieczny za podprowadzenie w jaki sposob sie za to zabrac.

wiadomo ze f(5)=-1 oraz wiadomo ze f(3)=-3
Wiemy takze ze dziedzina funkcji homograficznej jest zbiór liczb rzeczywistych za wyjatkiem sytuacji gdy -d/c= x (to jest asymptota pionowa u Ciebie x=4). Zbiorem wartosci takze jest zbiór liczb rzeczywistych za wyjatkiem y=a/c (asymptota pozioma u ciebie y=-2)

czyli dostaniesz układ rownan:

-1 = (5a+b)/(5c+d)
-3= (3a+b)/(3c+d)
-d/c = 4
a/c= -2

Metoda podstawiania powinno wyjsc

narysuj sobie asymptoty: pionową(x=4) i poziomą(y=-2)

asymptota pozioma \(\displaystyle{ y= \frac{a}{c}= -2}\)
asymptota pionowa \(\displaystyle{ x= \frac{-d}{c}=4}\)
z tego masz

\(\displaystyle{ a=-2c}\)
\(\displaystyle{ c= - \frac{a}{2}}\)
\(\displaystyle{ d=2a}\)

\(\displaystyle{ -1= \frac{5a+b}{5c+d}}\) bo punkt \(\displaystyle{ (5;-1)}\)
\(\displaystyle{ -3= \frac{3a+b}{3c+d}}\) bo punkt \(\displaystyle{ (3;-3)}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} c= - \frac{a}{2}\\ d=2a \\ -1= \frac{5a+b}{5c+d} \\ -3= \frac{3a+b}{3c+d} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} -1= \frac{5a+b}{- \frac{5}{2}a+2a} \\ -3= \frac{3a+b}{- \frac{3}{2} a+b} \end{cases}}\) równanie z 2 niewiadomymi powinienieś juz rozwiązać
\(\displaystyle{ -4= -4}\) o co chodzi??
z tego wychodzi, że \(\displaystyle{ a,b R}\)
coś gdzieś za dużo podstawiłem, wie ktoś gdzie jest błąd?

edit1: ludolfina, zapraszam do lektury LaTeXu na gorze strony masz link
https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=28951

dodatkowo c nie moze byc zerem oraz c*b musi byc różne od a*d (to gwaratntuje ze f(x) nie bedzie liniowa)