Matematyka.pl

Udowodnij, że:

\(\displaystyle{ h_1+h_2+h_3\geq 9r}\), gdzie h1, h2, h3 to wysokości trójkąta, a r to promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.








Edit by: c[Oo]?! temat nie regulaminowy, ten poprawiam bo to twój 1 post

Wiemy, że pole trójkąta wyraża sie wzorem:

\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}h_1a=\frac{1}{2}h_2b=\frac{1}{2}h_3c}\)

\(\displaystyle{ h_1+h_2+h_3=2P(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}\)

Wiemy, że P=pr czyli mamy:

\(\displaystyle{ 2P(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=r(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}\)

Wystarczy pokazać, że:

\(\displaystyle{ (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9}\)

Mnożysz i masz:

\(\displaystyle{ a^2b+bc^2+a^2c+b^2c+ab^2+ac^2\geq 6abc}\)

To jest już nierówność Muirheada (nie wiem jak się to pisze, ale czyta Myrcheda) ...

A dla mniej wtajemniczonych to mozna przenieść 6abc na lewą strone i powstaje:

\(\displaystyle{ b(a-c)^2+a(b-c)^2+c(a-b)^2\geq 0}\)


PS. To nawet nie jest ten dział ... Przenosze