Matematyka.pl

Niech n>=3. Jeżeli współczynniki przy potęgacg \(\displaystyle{ xy^{n-1}, x^2y^{n-2}, x^3y^{n-3}}\) w rozwinięciu \(\displaystyle{ (x+y)^n}\) tworzą ciąg arytmetyczny, to wykładnik n jest równy
a)6
b)7
c)8

Odpowiedź ma być B. Nie wiem za bardzo jak sie za to zabrać.

\(\displaystyle{ (x+y)^n={n \choose 0}y^nx^0+{n \choose 1}y^{n-1}x^1+{n \choose 2}y^{n-2}x^2+{n \choose 3}y^{n-3}x^3+...+{n \choose n}y^0x^n}\)

Rozwiązujesz równanie:

\(\displaystyle{ {n \choose 1}+{n \choose 3}=2{n \choose 2}}\)

no i tak mamy:
\(\displaystyle{ \frac{n!}{(n-1)!}+\frac{n!}{6(n-3)!}=\frac{n!}{(n-2)!}\)
No i jak rozwiazać to dalej w mianowniku.

Pozbywasz się z mianownika symbolu silni "!"

\(\displaystyle{ \frac{(n-1)! \cdot n}{(n-1)!} + \frac{(n-3)! \cdot (n-2) \cdot (n-1) \cdot n}{6(n-3)!} = \frac {(n-2)! \cdot (n-1) \cdot n}{(n-2)!}}\) po skróceniu nie będziesz miał chyba kłopotów już ?:)

Odp: b) 7 bo n>3

raczej będe mieć. Problemem jest tu ta 6 w mianowniku. Żeby się pozbyć tej szóstki no to mnoże przez 6. I wychodzi mi:
\(\displaystyle{ -5n^2+9n+2=0}\)
No i nie idzie wyliczyć z tego n. Bo wartości ujemne wychodzą.

Jak to przecież po skróceniu masz : \(\displaystyle{ n + \frac{(n-2)(n-1)n}{6}=n^2-n}\) mnożysz jak mówiłeś przez 6 i zostaje \(\displaystyle{ n^3-9n^2+14n=0}\) co po wyciągnięciu n przed nawias daje nam \(\displaystyle{ n_1=0, n_2=2, n_3=7}\) a że n > 3 to zostaje tylko 7

Teraz jasne ?

aaaa, zapomniałem o tym n przy (n-2)(n-1) dlatego mi nie wychodziło.

Więc jesli sprawa została wyjaśniona zadanie również, temat można zamknąć