Matematyka.pl

Korzystając ze wzorów Vieta'a, uzasadnij, że jeżeli funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe, to pierwsza współrzędna wierzchołka jest ich średnią arytmetyczną.

Jezeli \(\displaystyle{ f(x)= ax^2 + bx + c}\) ma dwa miejsca zerowe, to na mocy wzorow Vieta ich suma to
\(\displaystyle{ -\frac{b}{a}}\) , gdzie a rozne od 0. W takim razie ich średnia arytmetyczna to \(\displaystyle{ -\frac{b}{2a}}\) . Wierzchołek paraboli opisanej równaniem funkcji f(x) odpowiada ekstremum lokalnemu tej funkcji. Zatem liczymy pochodną:
\(\displaystyle{ f'(x)=2ax+b}\)

przyrównujemy do 0:

\(\displaystyle{ 2ax+b=0}\),

a zatem \(\displaystyle{ x=-\frac{b}{a}}\), a jest to współrzędna wierzchołka. Więc mamy zgodność.

\(\displaystyle{ \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-b}{2a}}\)

wielki dzieki Arek