Matematyka.pl

Wyodrębniłem parę zadań, których rozwiązanie szczególnie mnie interesuje.

1zad.) Dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta ABC przy wierzchołkach A i B przecinają się w punkcie S. Przez punkt S poprowadzoną prostą równoległą do boku AB, przecinającą bok AC w punkcie D, zaś bok BC w punkcie E. Wykaż, że |DE|=|AD|+|BE|

2zad.) W pudełku mamy 30 jednobarwnych piłeczek w trzech różnych kolorach. Jeśli wyjmiemy z pudełka 25 piłeczek, to wśród nich znajdą się zawsze co najmniej trzy białe, co najmniej pięc niebieskich i co najmniej siedem czarnych. Ile piłeczek każdego koloru jest w tym pidełku?(Przeprowadź odpowiednie rozumowanie prowadzące do wyniku.)

3zad.) Podstawy trapezu mają długości a i b. Oblicz długość odcinka równoległego do podstaw trapezu dzielącego ten trapez na dwie figury o równych polach.

Zadanka były całkiem ciekawe (3 rozszerzony). Trochę się z nimi męczyłem, ale ostatecznie wychodzi mi 33.5 pkt, bo zrobiłem drobne błędy w zad. 2 i zad. 9.

Poda ktoś wynk do tego 3 co zamieściłem? Z 2 już sobie poradziłem, a takie łatwe było

x-długość tego odcineczka
\(\displaystyle{ x=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}}\)

LecHu pisze:x-długość tego odcineczka
\(\displaystyle{ x=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}}\)

Uff... W sumie dosyć łatwe zadanie, a było za nie aż 5 ptk

Powiedzmy sobie, że takie typowo maturalne

A ten wzór powyżej jest stały czy jakoś wyznaczony?

Mam problem z takim o to zadaniem z tego konkursu:

Oblicz \(\displaystyle{ |DE|}\) wiedząc, że \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ BE}\) są wysokościami trójkąta ostrokątnego \(\displaystyle{ ABC}\), w którym \(\displaystyle{ |AB|=c}\) i \(\displaystyle{ |<ACB|=\alpha}\)

czworokąt ABDE jest wpisany w okrąg, wywnioskuj stąd, że \(\displaystyle{ \sphericalangle CDE = \sphericalangle CAB}\), zatem trójkąty CDE i CAB są podobne, stąd \(\displaystyle{ \frac{DE}{c} = \frac{CE}{CB} = \cos \alpha}\)

W tym konkursie trzeba opisywać z czego sie korzysta/kroki działania? np.: "korzystam z tw. o czworokątach opisanych na okręgu"

Zadania z trzeciego etapu, poziom 3:

1. Dla jakich liczb całkowitych p równanie \(\displaystyle{ 3^{2x}-4*3 ^{x}+p=0}\) ma dwa rozwiązania całkowite? Podaj te rozwiązania.

2. W trapezie o podstawach długości a i b (a>b) poprowadzono proste zawierające przekątne trapezu. Przez punkt przecięcia przedłużeń ramion trapezu poprowadzono prostą równoległą do podstaw. Oblicz długość odcinka wyznaczonego przez tę prostą i przedłużenia ramion.

3. Oblicz sumę rozwiązań równania \(\displaystyle{ log_{sin2x} cos2x+ log_{cos2x}sin2x=2}\) należących do przedziału <0,2010>.

4. Ze zbioru liczb Z={1,2,3,4,...,3n}, n\(\displaystyle{ \in}\)\(\displaystyle{ N_{+}}\) losujemy dwie liczby. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowano dwie takie liczby, których iloczyn przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1 wynosi co najwyżej 0,21. Ile liczb liczy zbiór Z.

5. W ostrosłup prawidłowy sześciokątny, którego krawędź podstawy ma długość 10, a wysokość ma długość \(\displaystyle{ 6\sqrt{3}}\), wpisujemy prostopadłościany w ten sposób, że jedna podstawa prostopadłościanu zawiera się w podstawie ostrosłupa, a wierzchołki należą do krawędzi bocznych ostrosłupa. Wyznacz wymiary prostopadłościanu o największym polu powierzchni bocznej.

Czy treść zadania drugiego jest poprawna?

To jedyne zadanie, którego nie zrobiłam. Miałoby sens gdyby w treści zadania było napisane: "Oblicz długość odcinka wyznaczonego przez tę prostą i przedłużenia przekątnych

Moje wyniki
1. p=3
3.102320\(\displaystyle{ \pi}\)
4. {3,6,9,...,36}
5. a=\(\displaystyle{ 5\sqrt{3}}\)
b=5
c=\(\displaystyle{ 3\sqrt{3}}\)

Potwierdzam wyniki 1,4,5 (w 3 coś podobnego, ale dokładnie nie pamiętam ) W 2 właśnie założyłem to co napisałaś i robiłem dla takiego warunku. Na końcu dodalem jakieś PS, że mam nadzieje, iż o to chodziło Ogólnie zadania łatwe, w porównaniu np. z poprzednim rokiem.

Do drugiego rysunek zrobiłam, i wskazałam jakieś zależności więc jakieś punkty będą. Zastanawiam się właśnie czy do nich nie napisać. Może wtedy anulują to drugie zadanie ;]